多项式环与素理想疑问：k[X]中零常数项理想的矛盾解惑

首先，你这里的核心误解来自于对理想生成元的错误认知，咱们一步步拆解：

• 明确零常数项多项式理想的生成元：在多项式环A=k[X]（k是域）中，所有零常数项的多项式构成的集合，其实就是所有形如X·f(X)（其中f(X)∈k[X]）的多项式，这个理想是主理想(X)，它的生成元是X，而非某个能分解出X的“非不可约多项式m”。

• 为什么X是不可约的？：在k[X]中，一个多项式不可约的定义是：它不能写成两个次数≥1的多项式的乘积。对于X来说，如果假设X = a(X)b(X)，那么两边的次数相等：1 = deg(a(X)) + deg(b(X))。这意味着其中一个因子是次数为0的多项式（也就是k中的非零元，因为k是域，所有非零元都是单位），另一个因子是次数为1的多项式。所以X满足不可约的定义。

• (X)既是素理想也是极大理想：

  1. 素理想验证：如果f(X)g(X) ∈ (X)，说明X整除f(X)g(X)。由于X不可约，根据多项式环中的素性（不可约元生成的主理想是素理想），X必然整除f(X)或者g(X)，也就是f(X)∈(X)或g(X)∈(X)，符合素理想的定义。
  2. 极大理想验证：商环k[X]/(X)同构于域k（因为每个多项式模(X)后剩下的就是常数项，对应k中的元素）。而根据交换代数的结论：交换环中的理想是极大理想当且仅当它的商环是域。所以(X)是极大理想，这完全符合“极大理想必为素理想”的结论。

你之前的错误在于误以为这个理想的生成元是一个可分解出X的非不可约多项式，但实际上这个理想的生成元是不可约的X（或者它的相伴元，比如cX，c是k中的非零常数，相伴元的不可约性和素性是等价的，因为单位不改变理想的结构）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user249018