关于从连续区间(0,1)到单位正方形的可定义不连续满射的问询

嘿，你的这个观察很有意思！先聊聊你提到的整数映射——那确实是我们给网格点编索引的标准方式，把一维的整数序列平铺成二维网格，非常直观。接下来针对你的问题，我分几点解释：

• 连续映射确实不存在
  你说的没错，拓扑学里的不变维数定理（比线性代数的结论更直接）告诉我们：不存在从一维区间$(0,1)$到二维单位正方形$[0,1]^2$的连续满射。简单来说，连续映射没法“突破维度限制”——一维空间的连续像的拓扑维度最多是1，而单位正方形是二维的，所以这种连续映射不可能存在。

• 不连续映射不仅存在，还能直接构造
  正如你注意到的，$(0,1)$和单位正方形的点集基数完全相同（都是连续统$\mathfrak{c}$），而集合论的基本结论就是：两个集合基数相等当且仅当它们之间存在双射（双射自然也是满射）。

  这里给你一个具体的构造方法，用小数位拆分法：

  1. 先给$(0,1)$里的每个实数指定唯一的无限小数展开：比如用十进制的话，我们约定不使用以9结尾的展开（比如把$0.5$写成$0.5000\ldots$，而不是等价的$0.4999\ldots$）；如果用二进制，就约定不使用以1结尾的展开，这样每个数都只有一种表示方式。
  2. 假设某个数$t∈(0,1)$的小数展开是$0.a_1a_2a_3a_4a_5a_6\ldots$，我们定义：
     • $x(t) = 0.a_1a_3a_5\ldots$（取所有奇数位的数字组成x的小数部分）
     • $y(t) = 0.a_2a_4a_6\ldots$（取所有偶数位的数字组成y的小数部分）
  3. 这个映射$f(t)=(x(t),y(t))$就是从$(0,1)$到单位正方形$(0,1)×(0,1)$的满射：随便拿正方形里的一个点$(x,y)$，把x的小数位和y的小数位交替拼接，得到的数$t$就会被$f$映射到$(x,y)$。
  4. 这个映射必然是不连续的——你可以试试找个收敛序列，比如$t_n=0.1\underbrace{00\ldots0}_{n个0}1$，当$n→∞$时$t_n→0.1$，但$f(t_n)$会跳到$(0.111\ldots, 0.000\ldots)$，显然不收敛到$f(0.1)=(0.100\ldots, 0.000\ldots)$，这就说明它不连续。

其实这类映射还有很多变种，核心都是利用连续统的基数相等性来构造——毕竟只要两个集合的“元素数量”一样，总能找到一种对应方式，哪怕这种方式不连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Supware