给定实数列与固定自然数k，求limₙ→∞xₙ/n的极限

嘿，这个问题我刚好琢磨过，咱们一步步来拆解验证：

首先可以直接猜测这个极限是$\frac{l}{k}$，接下来咱们用两种思路来严谨证明这个结论：

思路一：构造辅助数列+Cesaro Stolz引理 #

• 构造差分数列：令$y_n = x_{n+1} - x_n$，那么题目给出的条件$\lim_{n \to \infty}(x_{n+k} - x_n) = l$可以转化为：
  $$
  \lim_{n \to \infty}(y_n + y_{n+1} + \dots + y_{n+k-1}) = l
  $$
  这是因为$x_{n+k} - x_n$本质上是从$x_n$到$x_{n+k}$的$k$个相邻差分的和。

• 利用Cesaro平均推导差分的平均极限：设$z_n = y_n + y_{n+1} + \dots + y_{n+k-1}$，已知$\lim_{n \to \infty} z_n = l$，根据Cesaro平均定理，数列$z_n$的算术平均也收敛到$l$，即：
  $$
  \lim_{n \to \infty} \frac{z_1 + z_2 + \dots + z_n}{n} = l
  $$
  展开这个平均和可以发现，当$n$趋向无穷时，前$k-1$项和后$k-1$项的贡献可以忽略，中间大部分的$y_m$会被重复计算$k$次，因此：
  $$
  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i \sim \frac{k}{n}\sum_{m=1}^n y_m
  $$
  由此可得$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{m=1}^n y_m = \frac{l}{k}$。

• 应用Cesaro Stolz引理求目标极限：因为$x_n = x_1 + \sum_{m=1}^{n-1} y_m$，对$\frac{x_n}{n}$使用Cesaro Stolz引理（分母$n$严格递增趋向无穷）：
  $$
  \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n - (n-1)} = \lim_{n \to \infty} y_n
  $$
  即使$\lim_{n \to \infty} y_n$不存在，$\frac{x_n}{n}$的极限也等于$y_n$的Cesaro平均极限，也就是$\frac{l}{k}$。

思路二：拆分数列项直接推导 #

把任意自然数$n$表示为$n = qk + r$，其中$q$是非负整数，$r \in {0,1,\dots,k-1}$，那么：
$$
x_n = x_r + (x_{k+r} - x_r) + (x_{2k+r} - x_{k+r}) + \dots + (x_{qk+r} - x_{(q-1)k+r})
$$
根据题目条件，每一项$x_{(i+1)k+r} - x_{ik+r}$当$i \to \infty$时都趋向$l$，因此：
$$
x_n = x_r + ql + o(q)
$$
而$n = qk + r$，所以$q = \frac{n - r}{k} \sim \frac{n}{k}$（当$n \to \infty$时），代入后可得：
$$
\frac{x_n}{n} = \frac{x_r + ql + o(q)}{qk + r} = \frac{l}{k} \cdot \frac{q}{q + \frac{r}{k}} + o(1)
$$
当$n \to \infty$时，$\frac{r}{kq} \to 0$，因此$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{l}{k}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AndrewC