为何C₀(X)在ℓ²(X)上的表示的像在ℓ²(X)中稠密？

这个问题的核心是结合局部紧Hausdorff空间的关键拓扑性质和Hilbert空间稠密性的等价判定方法，下面给你两种简洁的论证思路：

思路1：利用正交补为零元的稠密性判定 #

Hilbert空间中一个子空间稠密的充要条件是它的正交补仅包含零向量，我们用这个性质来证：

假设存在η ∈ ℓ²(X)，使得η与π(C₀(X))ℓ²(X)中的所有元素正交，也就是对任意f ∈ C₀(X)、ψ ∈ ℓ²(X)，都有⟨η, fψ⟩ = 0。

我们取ψ为ℓ²(X)的标准正交基元素eₓ（即eₓ(y)=1当且仅当y=x，否则为0），代入上式可得：
⟨η, f eₓ⟩ = f(x) · η(x) = 0
对所有f ∈ C₀(X)成立。

由于X是局部紧Hausdorff空间，根据Urysohn引理，对任意x ∈ X，总能找到f ∈ C₀(X)使得f(x) ≠ 0（比如取x的一个紧邻域，构造在该邻域上取1、在某个开集外为0的连续函数）。因此必须有η(x)=0对所有x ∈ X成立，即η=0。

这说明π(C₀(X))ℓ²(X)的正交补只有零元，因此它在ℓ²(X)中稠密。

思路2：直接构造逼近序列 #

我们可以直接对ℓ²(X)中的任意元素构造逼近：

任取φ ∈ ℓ²(X)，记其支撑集S = {x ∈ X | φ(x) ≠ 0}，这是X的可数子集。对任意ε > 0，我们总能找到S的有限子集F，使得∑_{x∈S\F} |φ(x)|² < ε²/4。

对每个x ∈ F，利用局部紧Hausdorff空间的性质，取互不相交的紧邻域Uₓ（因为Hausdorff空间中不同点有不相交邻域，局部紧性保证可以取紧邻域），再用Urysohn引理构造fₓ ∈ C₀(X)，满足fₓ(x)=1且supp(fₓ) ⊂ Uₓ。

定义f = ∑_{x∈F} φ(x)fₓ，ψ = ∑_{x∈F} eₓ，那么fψ = ∑_{x∈F} φ(x)eₓ，此时：
‖φ - fψ‖² = ∑_{x∈S\F} |φ(x)|² < ε²/4
即‖φ - fψ‖ < ε/2 < ε。

这说明φ可以被π(C₀(X))ℓ²(X)中的元素任意逼近，因此该子空间稠密。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mikis