求变上限积分函数g(x)的导数g'(x)：寻求解题提示与思路验证

你的初始思路完全没问题，这正是解决变上下限积分求导的核心方法！我来一步步帮你梳理清楚：

1. 确认牛顿-莱布尼茨公式的应用正确性 #

对于变上下限积分 $\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\mathrm{d}t$，如果$G(t)$是$f(t)$的一个原函数（即$G'(t)=f(t)$），那么确实可以写成：
$$g(x) = G(\sin x) - G(\cos x)$$
你的这一步推导完全正确。

2. 应用链式法则求导 #

接下来需要对$g(x)$关于$x$求导，这里要用到链式法则——复合函数求导时，需要先对原函数的自变量求导，再乘以上下限函数对$x$的导数：
$$g'(x) = G'(\sin x) \cdot (\sin x)' - G'(\cos x) \cdot (\cos x)'$$

3. 代入已知条件化简 #

现在把已知的条件代入：

• 首先，$G'(t) = \sqrt{1-t^2}$，所以$G'(\sin x) = \sqrt{1-\sin^2 x}$，$G'(\cos x) = \sqrt{1-\cos^2 x}$
• 三角函数导数：$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$
• 结合题目给定的区间$x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，这个区间内$\sin x$和$\cos x$都是非负的，所以开根号后可以直接去掉绝对值：
  $$\sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = \cos x$$
  $$\sqrt{1-\cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = \sin x$$

4. 计算最终结果 #

把上述结果代入求导式：
$$
\begin{align*}
g'(x) &= \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x) \
&= \cos^2 x + \sin^2 x \
&= 1
\end{align*}
$$

额外提示 #

区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$的限制非常重要——如果超出这个区间，$\cos x$或$\sin x$可能为负，开根号后需要保留绝对值，结果就会变成$|\cos x|^2 + |\sin x|^2$，不过在题目给定的区间里，结果就是1。

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