期望的加法规则为何在事件独立或依赖时均成立？附抽牌实例

这是个非常经典也值得深究的问题，核心误区在于很多人会把「期望的线性性」和「事件独立性」绑定，但实际上期望的线性性质是完全无条件的——不管随机变量之间是否独立，加法规则都成立！

先从你的例子拆解：用指示变量简化问题 #

我们先把问题里的随机变量$X$（5张手牌中A的数量）拆成5个指示变量的和：

• 令$X_i$表示「第$i$张牌是A」的指示变量：如果第$i$张是A，$X_i=1$；否则$X_i=0$（$i=1,2,...,5$）
• 显然$X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5$

根据期望的线性性质，不管$X_1$到$X_5$之间是否相关，都有：
$$E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) + E(X_5)$$

为什么每个$E(X_i)$都是$\frac{4}{52}$？ #

这里的关键是洗牌的对称性：洗匀的牌组意味着52张牌的所有排列都是等概率的。对于任意一张特定的牌（比如第3张），它是A的概率和第一张牌是A的概率完全一样——因为每个A出现在任意位置的机会均等。

举个更简单的例子帮你理解：假设牌组只有2张牌，1张A和1张非A。洗牌后有两种等可能的排列：[A, 非A]和[非A, A]。第二张牌是A的概率是$\frac{1}{2}$，和第一张完全相同，哪怕是不放回抽取。

回到你的问题，不管是第1张还是第5张牌，在没有任何前置信息的情况下，它是A的边缘概率都是$\frac{4}{52}$——这和是否放回无关，因为洗牌已经保证了每个位置的牌的分布是对称的。

为什么依赖不影响期望加法？ #

你可能会疑惑：「如果第一张抽了A，第二张是A的概率就变成$\frac{3}{51}$了啊？」没错，这是条件概率，但我们计算的$E(X_i)$是边缘概率——也就是不考虑其他牌的结果时，第$i$张牌是A的概率。而期望的线性性只需要每个变量的边缘期望，不需要它们之间独立。

哪怕$X_1$和$X_2$是依赖的（比如$X_1=1$会改变$X_2=1$的概率），但$E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$这个等式依然成立。这是期望的基本公理性质，和变量之间的相关性无关。

总结一下 #

1. 期望线性性无条件成立：对于任意随机变量（无论独立与否），和的期望等于期望的和，这是期望的核心性质之一。
2. 洗牌的对称性保证边缘概率相等：洗匀的牌组中，任意位置的牌是A的边缘概率都是$\frac{4}{52}$，和抽取顺序、是否放回无关。
3. 所以你的例子里，直接把5个边缘期望相加得到总期望$\frac{5}{13}$是完全正确的，哪怕是不放回抽取。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus