积分收敛性测试：求解指定三角函数定积分的方法与步骤

我来一步步帮你拆解这个问题，咱们先从核心的瑕点定位开始：

第一步：找出积分区间内的瑕点 #

瑕点就是被积函数无定义或者趋于无穷的点，咱们先分析积分区间[0, π/2]内的情况：

• 先看分母2sinx + cosx：在x=0时，值为2*0 + 1 = 1；在x=π/2时，值为2*1 + 0 = 2，整个区间内分母都不为0，所以分母不会导致奇点。
• 再看分子里的cotx：cotx = cosx/sinx，当x→0+时，sinx趋近于0+，cotx会趋于正无穷，因此x=0是唯一的瑕点；而x=π/2时，cot(π/2)=0，被积函数值为(0+1)/(2+0)=1/2，是有限值，不是瑕点。

第二步：拆分积分，分离瑕点部分 #

为了判断收敛性，我们把原积分拆成「瑕点附近的积分」和「正常连续区间的积分」两部分：
取任意一个介于0和π/2之间的数（比如a=π/4），原积分可以拆为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cot{x} + 1}{2 \sin{x} + \cos{x}}, dx = \int_{0}^{a} \frac{2 \cot{x} + 1}{2 \sin{x} + \cos{x}}, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cot{x} + 1}{2 \sin{x} + \cos{x}}, dx$$

• 右边第二个积分在区间[a, π/2]上，被积函数是连续的（cotx在此区间有定义且连续，分母也不为0），所以这是一个正常积分，必然收敛。我们只需要重点分析第一个积分的收敛性。

第三步：分析瑕点附近积分的收敛性 #

先化简被积函数，把cotx转换成cosx/sinx，分子通分后：
$$\frac{2 \cot{x} + 1}{2 \sin{x} + \cos{x}} = \frac{\frac{2\cos{x}}{\sin{x}} + 1}{2\sin{x} + \cos{x}} = \frac{2\cos{x} + \sin{x}}{\sin{x}(2\sin{x} + \cos{x})}$$
当x→0+时，利用等价无穷小替换：sinx ~ x，cosx → 1，代入后被积函数等价于：
$$\frac{2*1 + x}{x(2x + 1)} \sim \frac{2}{x}$$
我们知道p积分的收敛规则：$\int_{0}^{a} \frac{1}{x^p}dx$ 当p≤1时发散，这里p=1，所以$\int_{0}^{a} \frac{2}{x}dx$是发散的。

由此可以推出，瑕点附近的积分$\int_{0}^{a} \frac{2 \cot{x} + 1}{2 \sin{x} + \cos{x}}, dx$是发散的。

第四步：得出最终结论 #

因为拆分后的两个积分中，瑕点附近的积分发散，所以原积分整体是发散的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elvin