能否构建变量和始终为1的微分方程组？

当然没问题，这类守恒型微分方程组在种群竞争、演化博弈、概率转移模型里特别常见，核心思路是让所有变量的导数之和为0——这样只要初始时刻满足$S_1(0)+S_2(0)+\dots+S_n(0)=1$，那么对所有$t>0$，总和都会保持为1。结合你提到的逻辑斯蒂类非线性函数，具体可以这么构造：

核心构造逻辑 #

要让$\frac{d}{dt}(S_1+S_2+\dots+S_n)=0$，只需要满足$\sum_{i=1}^n S_i' = 0$。针对逻辑斯蒂形式的$f_i$，我们可以把每个方程设计成相对增长率乘以自身变量的形式：
$$S_i' = S_i \cdot g_i(S_1,S_2,\dots,S_n)$$
其中$g_i$是关于所有$S_j$的函数，只要保证$\sum_{i=1}^n S_i g_i = 0$，就能满足总和守恒。

适配逻辑斯蒂形式的具体方案 #

因为逻辑斯蒂模型的典型形式是$rS(1-S)$（包含自身项和限制项），我们可以把$g_i$设计为自身增长率减去所有变量的加权平均增长率，比如：
$$S_i' = S_i \left( r_i - \sum_{j=1}^n r_j S_j \right)$$
这里$r_i$是每个$S_i$的固有增长率，我们来验证两个关键条件：

1. 总和守恒：
   $$\sum_{i=1}^n S_i' = \sum_{i=1}^n S_i\left( r_i - \sum_{j=1}^n r_j S_j \right) = \sum_{i=1}^n r_i S_i - \sum_{j=1}^n r_j S_j \cdot \sum_{i=1}^n S_i$$
   只要初始$\sum S_i=1$，那么第二项就是$\sum r_j S_j \cdot 1$，和第一项抵消，所以$\sum S_i'=0$，总和永远为1。
2. 保持$0\leq S_i\leq1$：
   • 当$S_i=0$时，$S_i'=0$，不会变为负数；
   • 当$S_i=1$时，其他所有$S_j=0$，代入得$S_i'=1\cdot(r_i - r_i\cdot1)=0$，不会超过1；
   • 中间状态下，因为总和为1，每个$S_i$自然被限制在0到1之间。

简单示例（n=2） #

比如取$r_1=2$，$r_2=1$，方程组为：
$$
\begin{cases}
S_1' = S_1(2 - 2S_1 - S_2) \
S_2' = S_2(1 - 2S_1 - S_2)
\end{cases}
$$
初始条件设$S_1(0)=0.6$，$S_2(0)=0.4$（总和为1），代入$S_2=1-S_1$后，$S_1'$会简化为$S_1(2 - 2S_1 - (1-S_1))=S_1(1 - S_1)$，这就是标准的逻辑斯蒂方程，完全符合你的要求。

拓展说明 #

这个构造思路还可以灵活调整：比如把$r_j$换成依赖于$S$的非线性函数，只要保证$\sum S_i g_i=0$，依然能维持总和守恒。本质上是利用了“变量总和的导数等于导数的总和”这个基本性质，再结合逻辑斯蒂模型的结构特点来适配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wjmccann