证明满足对应角相等、两组边相等且一组对边不平行的四边形全等

没问题，咱们一步步来推导这个全等结论，先把已知条件理清楚，再通过构造辅助线的方法完成证明：

已知条件 #

• 四边形$ABCD$与$PQRS$的对应角完全相等：$∠A=∠P$，$∠B=∠Q$，$∠C=∠R$，$∠D=∠S$
• 两组对应边相等：$AB=PQ$，$CD=RS$
• 四边形$ABCD$中$AD$不平行于$BC$

证明过程 #

1. 构造辅助交点
   因为$AD$不平行于$BC$，我们可以延长$AD$和$BC$，使其交于点$E$；同理延长$PS$和$QR$，使其交于点$F$。

2. 证明$\triangle ABE \cong \triangle PQF$
   已知$∠A=∠P$，$∠B=∠Q$，根据AA（角角）相似判定，$\triangle ABE \sim \triangle PQF$。又因为$AB=PQ$，相似比为1，所以$\triangle ABE \cong \triangle PQF$。由此可得：

   • $AE=PE$，$BE=QE$
   • $∠E=∠F$

3. 证明$\triangle CDE \cong \triangle RSF$
   由四边形内角和为$360^\circ$，结合对应角相等的条件，可推导出：

   • $∠CDE=180^{\circ-∠ADC=180}\circ-∠PSR=∠RSF$
   • $∠DCE=180^{\circ-∠BCD=180}\circ-∠QRS=∠SRF$
     再根据AA相似判定，$\triangle CDE \sim \triangle RSF$，又因为$CD=RS$，相似比为1，所以$\triangle CDE \cong \triangle RSF$。由此可得：
   • $DE=SF$，$CE=RF$

4. 推导剩余对应边相等

   • 由$AE=PE$，且$AE=AD+DE$，$PE=PS+SF$，结合$DE=SF$，可直接得出$AD=PS$
   • 由$BE=QE$，且$BE=BC+CE$，$QE=QR+RF$，结合$CE=RF$，可直接得出$BC=QR$

5. 证明四边形全等
   现在我们已经得到两组相邻边及夹角相等：$AB=PQ$，$AD=PS$，$∠A=∠P$，根据SAS全等判定，$\triangle ABD \cong \triangle PQS$，因此$BD=QS$。
   再结合$BC=QR$，$CD=RS$，$BD=QS$，根据SSS全等判定，$\triangle BCD \cong \triangle QRS$。
   两个三角形分别全等，因此整个四边形$ABCD \cong$四边形$PQRS$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Harsh Vardhana