求|z|≤1时|e^(z²)|的最小值复分析备考疑问

开发者阿泽

2026-5-19

解答：求(|z|≤1)时(|e^{z²}|)的最小值

嘿，这个问题其实可以拆解成复数模的基本性质来解决，咱们一步步理清楚：

第一步：利用复数指数函数的模的核心性质
对于任意复数( w = u + iv )（( u, v )为实数），( |e^w| = e^u )——也就是( e )的( w )的实部次方。这是因为( e^w = e^u(\cos v + i\sin v) )，正弦和余弦的平方和为1，所以它的模只和实部( u )有关。
回到题目，( |e^{z2}| = e^{\text{Re}(z2)} )，所以问题直接转化为：在( |z|≤1 )的条件下，找到( \text{Re}(z^2) )的最小值，再代入指数函数即可。
第二步：计算( z^2 )的实部
设( z = x + iy )（( x, y )为实数），满足( x^2 + y^2 ≤1 )（这是( |z|≤1 )的代数表达）。展开( z^2 )：
z² = (x + iy)² = x² - y² + i·2xy
所以( \text{Re}(z²) = x² - y² )，因此( |e^{z²}| = e^{x² - y²} )。
第三步：最小化( e^{x² - y²} )
指数函数( e^t )是严格单调递增的，所以要让( e^{x² - y²} )最小，等价于让( t = x² - y² )最小。
结合约束条件( x² + y² ≤1 )，最小值一定在边界( |z|=1 )上取到（如果( x² + y² <1 )，那么( x² - y² = (x² + y²) - 2y² < 1 - 2y² )，而边界上的( 1 - 2y² )能取到更小的值）。把( x² = 1 - y² )代入后：
t = (1 - y²) - y² = 1 - 2y²
要最小化( 1 - 2y² )，就需要最大化( y² )。在( x² + y² =1 )的条件下，( y² )的最大值是1（此时( x=0 )），对应的( z = ±i )。
第四步：计算最终最小值
当( z=±i )时，( t = 1 - 2×1 = -1 )，所以( |e^{z²}| = e^{-1} = \frac{1}{e} )。