样本分布乘法问题：100名乘客总重超8500kg的概率求解

嘿，我来帮你梳理这个问题的解法，顺便确认你的尝试是否正确～

首先明确问题背景：

某飞机核准载客100人，乘客体重服从均值80kg、标准差20kg的正态分布。求100名乘客总重量超过8500kg的概率。

你的尝试过程是：

设µ=85，σ=20，n=100，将Pr(100X̄>8500)转化为Pr(X̄>85)；通过σ除以√100得到X̄的标准差为20/10，进而得到标准化分布Z，计算得Pr(Z>5/2)=0.0062（即0.62%）

这里先指出一个小笔误：你把总体均值µ写成85是不对的，总体乘客体重的均值是80kg，85是样本均值的临界值，但你的核心推导逻辑完全正确！我们一步步拆解验证：

• 设单个乘客体重为随机变量 (X_i \sim N(\mu=80, \sigma²⁼²⁰2))，100名乘客总重量 (T = \sum_{i=1}^{100}X_i)，我们需要求 (P(T > 8500))。
• 样本均值 (\bar{X} = \frac{T}{100})，因此 (T > 8500) 等价于 (\bar{X} > 85)，这一步转化非常准确。
• 根据正态分布的性质，样本均值 (\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}))，也就是均值仍为80，标准差为 (\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{10} = 2)。
• 标准化后得到 (Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{85 - 80}{2} = 2.5)，我们要求的就是 (P(Z > 2.5))。
• 查标准正态分布表或用统计工具计算，(P(Z > 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062)，即0.62%。

我们也可以用总重量的直接分布来验证，结果完全一致：

• 总重量 (T = \sum X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2) = N(10080, 10020^2) = N(8000, 40000))
• 标准化计算 (Z = \frac{8500 - 8000}{\sqrt{40000}} = \frac{500}{200} = 2.5)，同样得到 (P(Z > 2.5) = 0.0062)。

所以你的计算结果是完全正确的！可能所谓的“据称正确答案”存在误解或者笔误哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eli Kerrison-Male