寻找集合A、B使P(A)∪P(B)=P(A∪B)的条件并证明（已证⊆关系）

既然你已经完成了 P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A∪B) 的证明，那要让等式完全成立，核心就是要让反向的包含关系 P(A∪B) ⊆ P(A) ∪ P(B) 也成立。经过推导，这个反向包含成立的充要条件是：集合A和B中，其中一个完全包含另一个（也就是要么 A ⊆ B，要么 B ⊆ A）。

下面分两部分证明这个条件的有效性：

必要性证明（等式成立 → 一个集合包含另一个） #

我们用反证法来推导：
假设等式 P(A) ∪ P(B) = P(A∪B) 成立，但 A 不包含于 B 且 B 不包含于 A。

• 因为 A 不包含于 B，所以存在元素 x ∈ A 且 x ∉ B；
• 同理，B 不包含于 A，存在元素 y ∈ B 且 y ∉ A。

现在考虑集合 S = {x, y}，显然 S ⊆ A∪B，所以 S ∈ P(A∪B)。但：

• S 不属于 P(A)，因为 y ∉ A，S 不是 A 的子集；
• S 也不属于 P(B)，因为 x ∉ B，S 不是 B 的子集。

这就意味着 S ∉ P(A) ∪ P(B)，但我们假设了 P(A∪B) ⊆ P(A) ∪ P(B)，矛盾！所以假设不成立，必须有 A ⊆ B 或 B ⊆ A。

充分性证明（一个集合包含另一个 → 等式成立） #

我们分两种情况讨论：

1. 当 A ⊆ B 时：

   • 此时 A∪B = B，所以 P(A∪B) = P(B)；
   • 又因为 A ⊆ B，所以所有 A 的子集都是 B 的子集，即 P(A) ⊆ P(B)；
   • 因此 P(A) ∪ P(B) = P(B)，和 P(A∪B) 相等，等式成立。

2. 当 B ⊆ A 时：

   • 类似地，A∪B = A，所以 P(A∪B) = P(A)；
   • 因为 B ⊆ A，所以 P(B) ⊆ P(A)；
   • 因此 P(A) ∪ P(B) = P(A)，和 P(A∪B) 相等，等式成立。

综上，P(A) ∪ P(B) = P(A∪B) 成立的充要条件是 A ⊆ B 或 B ⊆ A。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者student