特征函数积分等式推导求助：已知条件下的积分等式证明

你用分部积分的思路其实找对方向啦，只是可能没把已知的特征函数等式和导数性质结合起来串联推导。我一步步给你理清楚：

1. 变量替换简化积分形式
   先对左边的积分做变量替换，令s = ut，那么t = s/u，微分dt = ds/u。当t=0时s=0，t=1时s=u，代入原积分后可以把积分上下限和变量都简化：

∫₀¹(φ_X(ut))²dt = ∫₀ᵘ (φ_X(s))² * (ds/u) = (1/u) ∫₀ᵘ (φ_X(s))² ds

2. 关联积分与已知特征函数等式
   题目已经给出φ_X(u) = ∫₀¹(φ_X(ut))²dt，结合上面的变量替换结果，我们可以得到特征函数和积分的直接关系：

φ_X(u) = (1/u) ∫₀ᵘ (φ_X(s))² ds

两边同时乘以u，整理后得到：

∫₀ᵘ (φ_X(s))² ds = u φ_X(u)

3. 对等式两边求导（运用变上限积分与乘积求导法则）
   现在对上面的等式两边关于u求导：

• 左边是变上限积分，求导后直接得到(φ_X(u))²；
• 右边是u和φ_X(u)的乘积，用乘积求导法则可得：d/du [u φ_X(u)] = φ_X(u) + u φ_X^(1)(u)

把两边的结果联立起来，就有：

(φ_X(u))² = φ_X(u) + u φ_X^(1)(u)

4. 移项得到目标等式
   把φ_X(u)移到等式左边，整理后就能得到：

φ_X(u) = (φ_X(u))² - u φ_X^(1)(u)

再结合题目给出的φ_X(u) = ∫₀¹(φ_X(ut))²dt，直接替换进去就推导出了目标结论：

∫₀¹(φ_X(ut))²dt = (φ_X(u))² - u φ_X^(1)(u)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ethan