给定端点值与二阶导数条件，证明开区间(a,b)内f(x)≥g(x)

AI 小北

2026-5-19

证明：当二阶导数满足$f''(x) < g''(x)$时，$(a,b)$内$f(x) \ge g(x)$

咱们来一步步严谨推导这个结论，核心思路是构造辅助函数简化条件，再结合中值定理用反证法完成证明：

步骤1：构造辅助函数

令$h(x) = f(x) - g(x)$，根据题目给出的条件，我们可以得到：

$h(a) = f(a) - g(a) = 0$，$h(b) = f(b) - g(b) = 0$
对任意$x \in (a,b)$，$h''(x) = f''(x) - g''(x) < 0$

我们的目标转化为证明：对所有$x \in (a,b)$，$h(x) \ge 0$。

步骤2：反证法假设

假设存在某个$c \in (a,b)$，使得$h(c) < 0$，接下来我们推导矛盾。

步骤3：多次应用拉格朗日中值定理

对$h(x)$在区间$[a,c]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi_1 \in (a,c)$，使得：
$$h'(\xi_1) = \frac{h(c) - h(a)}{c - a} = \frac{h(c)}{c - a}$$
因为$h(c) < 0$且$c - a > 0$，所以$h'(\xi_1) < 0$。
对$h(x)$在区间$[c,b]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi_2 \in (c,b)$，使得：
$$h'(\xi_2) = \frac{h(b) - h(c)}{b - c} = \frac{-h(c)}{b - c}$$
因为$h(c) < 0$，所以$-h(c) > 0$，且$b - c > 0$，因此$h'(\xi_2) > 0$。
现在对$h'(x)$在区间$[\xi_1, \xi_2]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (\xi_1, \xi_2) \subset (a,b)$，使得：
$$h''(\eta) = \frac{h'(\xi_2) - h'(\xi_1)}{\xi_2 - \xi_1}$$
观察分子分母：$h'(\xi_2) > 0$，$h'(\xi_1) < 0$，所以分子$h'(\xi_2) - h'(\xi_1) > 0$；分母$\xi_2 - \xi_1 > 0$，因此$h''(\eta) > 0$。

步骤4：导出矛盾，完成证明

但根据题设，对所有$x \in (a,b)$都有$h''(x) < 0$，这和我们推导出的$h''(\eta) > 0$矛盾。因此最初的假设不成立，即不存在$c \in (a,b)$使得$h(c) < 0$，也就是说对所有$x \in (a,b)$，$h(x) \ge 0$，即$f(x) \ge g(x)$。