求证线性变换T∈L(ℝⁿ,ℝᵐ)在ℝⁿ上处处可微（求指导）

别担心，刚入门多元分析时对符号和定义感到困惑是非常正常的！我们一步步来拆解这个证明，把每一步的逻辑都理清楚。

第一步：明确可微的核心定义 #

首先先把多元函数可微的定义搞准确：对于$\mathbb{R}^n$上的函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，若在点$x_0 \in \mathbb{R}^n$处存在一个线性变换$L \in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$，使得
$$\lim_{H \to 0} \frac{|f(x_0 + H) - f(x_0) - L(H)|}{|H|} = 0$$
那么称$f$在$x_0$处可微，且$L$就是$f$在$x_0$处的微分（也叫导数）。

注意你之前写的极限里少了分子的范数！这很关键——因为分子是$\mathbb{R}^m$中的向量，我们需要用范数把它转化为实数，才能谈极限是否为0。

第二步：利用线性变换的性质简化表达式 #

现在我们的$f$就是线性变换$T$，也就是$T(x) = Ax$（$A$是$m×n$矩阵）。首先回忆线性变换的两个核心性质：

• 可加性：$T(x_0 + H) = T(x_0) + T(H)$
• 齐次性：$T(kH) = kT(H)$，对任意实数$k$成立

把可加性代入到可微定义的分子里：
$$T(x_0 + H) - T(x_0) - T(H) = [T(x_0) + T(H)] - T(x_0) - T(H) = 0$$

第三步：计算极限，完成证明 #

现在分子直接是零向量，那么整个分式就是$\frac{|0|}{|H|} = 0$，当$H \to 0$时，这个表达式的极限显然是0。

这就意味着，对于线性变换$T$，我们取它自身作为微分$L$，就满足可微的定义！而且这个结论对任意$x_0 \in \mathbb{R}^n$都成立，因为整个推导过程没有依赖$x_0$的具体取值——线性变换的可加性对所有点都成立。

额外澄清：符号的理解 #

你提到对符号感到困惑，这里再补充几点：

• $H$是$\mathbb{R}^n$中的“增量向量”，可以理解为从$x_0$出发的一个小位移，$H \to 0$表示这个位移的长度趋近于0
• $|\cdot|$是向量的范数（比如欧几里得范数$|v| = \sqrt{v_1^2 + ... + v_k^2}$），用来衡量向量的“大小”
• $L(H)$是线性近似，对于线性变换来说，它自己就是最好的线性近似，这也是为什么它处处可微的核心原因

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AndyDufresne