如何将“13不整除m时m⁴+8非整数立方”解法写成数学证明

咱用反证法结合模13的剩余类分析来严谨推导这个结论，步骤如下：

1. 反证假设 #

假设存在整数$n$，使得以下等式成立：
$$m^4 + 8 = n^3$$
移项可得：
$$m^4 = n^3 - 8$$

2. 模13同余转换 #

对上述等式两边同时取模13，得到同余式：
$$m^4 \equiv n^3 - 8 \pmod{13}$$
等价于：
$$n^3 \equiv m^4 + 8 \pmod{13}$$

3. 枚举模13的四次剩余与三次剩余 #

要验证上述同余式是否可能成立，我们先枚举模13下所有可能的四次剩余和三次剩余：

模13的四次剩余集合 #

计算0到12每个整数的四次方模13的结果，最终得到四次剩余为：
${0, 1, 3, 9}$
（注：当13不整除$m$时，$m^4$的取值只能是1、3、9，排除0的情况）

模13的三次剩余集合 #

计算0到12每个整数的三次方模13的结果，最终得到三次剩余为：
${0, 1, 5, 8, 12}$

4. 分情况验证矛盾 #

因为题目条件是13不整除$m$，所以$m^4$只能取1、3、9这三个值，我们逐一验证：

• 当$m^4 \equiv 1 \pmod{13}$时，$n^3 \equiv 1 + 8 = 9 \pmod{13}$，但9不在三次剩余集合中，矛盾；
• 当$m^4 \equiv 3 \pmod{13}$时，$n^3 \equiv 3 + 8 = 11 \pmod{13}$，11不在三次剩余集合中，矛盾；
• 当$m^4 \equiv 9 \pmod{13}$时，$n^3 \equiv 9 + 8 = 17 \equiv 4 \pmod{13}$，4不在三次剩余集合中，矛盾；

只有当$m^4 \equiv 0 \pmod{13}$（即13整除$m$）时，$n^3 \equiv 8 \pmod{13}$，此时$n$可以取2、5、6模13，但这与题目中“13不整除$m$”的条件不符，不在我们的讨论范围内。

5. 结论 #

所有符合题目条件的情况均导出矛盾，说明最初的假设不成立。因此：

当整数13不整除$m$时，$m^4 + 8$不是某个整数的立方

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Singh Chief