寻找参数函数的无偏估计量——均匀分布IID样本问题

咱们先明确背景：$Y_1,...,Y_n$是来自均匀分布$U(\theta,1)$的独立同分布样本，它的矩估计量是$\hat \theta=2\bar Y-1$。现在要找$\frac{1-\theta}{\sqrt{3n}}$的无偏估计量$\hat \beta$。

你之前尝试计算了$\frac{1-\hat \theta}{\sqrt{3n}}$的期望，咱们把这个推导补全，看看结果怎么样：

首先把$\hat \theta$代入式子展开：
$$
E\left( \frac{1-\hat \theta}{\sqrt{3n}} \right)=E\left( \frac{1-(2\bar Y-1)}{\sqrt{3n}} \right) = E\left( \frac{2 - 2\bar Y}{\sqrt{3n}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3n}}E(1 - \bar Y)
$$

接下来回忆均匀分布的期望性质：对于$Y_i \sim U(\theta,1)$，单个样本的期望$E(Y_i)=\frac{\theta+1}{2}$，所以样本均值的期望$E(\bar Y)=\frac{\theta+1}{2}$。把这个代入上面的式子：
$$
\frac{2}{\sqrt{3n}}\left(1 - \frac{\theta+1}{2}\right) = \frac{2}{\sqrt{3n}} \cdot \frac{2 - \theta -1}{2} = \frac{1-\theta}{\sqrt{3n}}
$$

你看！推导到这里就发现，你构造的这个估计量$\frac{1-\hat \theta}{\sqrt{3n}}$的期望正好等于我们要估计的$\frac{1-\theta}{\sqrt{3n}}$，也就是说它本身就是一个无偏估计量！

简单梳理下逻辑：

• 先利用均匀分布的期望特征算出样本均值的期望
• 代入你构造的估计量的期望计算，最终验证了期望与目标估计量完全相等
• 所以结论就是：$\hat \beta = \frac{1-\hat \theta}{\sqrt{3n}}$就是我们要找的无偏估计量

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial