求p(1)+q(1)的值：复多项式与三角恒等式问题

首先，我们可以结合三角函数恒等式和多项式的核心性质来推导，一步步拆解问题：

• 步骤1：用基本恒等式改写原式
  我们知道对任意复数$z$，$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$，所以把等式右边的$2$转化为$2(\sin^2 z + \cos^2 z)$，代入原式后得到：
  $$p(z)\sin^2 z + q(z)\cos^2 z = 2\sin^2 z + 2\cos^2 z$$
  移项整理后：
  $$(p(z)-2)\sin^2 z + (q(z)-2)\cos^2 z = 0 \quad \forall z \in \mathbb{C}$$

• 步骤2：转化式子，结合多项式性质分析
  再用$\sin^2 z = 1 - \cos^2 z$代入上式，展开并整理：
  $$(p(z)-2) + (q(z)-p(z))\cos^2 z = 0 \quad \forall z \in \mathbb{C}$$

这里是关键：多项式是只有有限个零点的整函数，而$\cos^2 z$有无穷多个零点（比如$z = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$全是它的零点）。
如果$q(z)-p(z)$不是零多项式，那么$(q(z)-p(z))\cos^2 z$会有无穷多个零点，但等式左边要恒为0，这意味着$p(z)-2$也必须在这些无穷多个点上取0——但多项式不可能有无穷多个零点，除非它本身是零多项式。

由此可以推出两个结论：

1. $p(z)-2 = 0$，即$p(z)$是常数多项式$2$；
2. 把$p(z)=2$代回整理后的式子，得到$(q(z)-2)\cos^2 z = 0$对所有$z$成立，而$\cos^2 z$不恒为0，因此$q(z)-2 = 0$，即$q(z)$也是常数多项式$2$。

• 步骤3：计算目标值
  既然$p(z)$和$q(z)$都是常数$2$，那么$p(1)+q(1)=2+2=4$。

另外也可以用特殊值快速验证：比如取$z=0$，得$q(0)=2$；取$z=\frac{\pi}{2}$，得$p(\frac{\pi}{2})=2$；取$z=\frac{\pi}{4}$，得$p(\frac{\pi}{4})+q(\frac{\pi}{4})=4$。而多项式如果在无穷多个点上取固定值，那它必然是常数多项式，这也能佐证我们的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shane Dizzy Sukardy