映射锥的基本群求解：路径连通空间下π₁(C_f)的判定

嘿，你的推测完全正确！咱们结合拓扑学里的Van Kampen定理一步步拆解验证，把逻辑理得更扎实：

首先先明确映射锥的定义：

( C_f = (S^n \times I) \sqcup X / \sim )
其中等价关系是：

• 对所有 ( s \in S^n )，( (s,1) \sim f(s) )（把圆柱的上底粘到X上）
• 对所有 ( s,s' \in S^n )，( (s,0) \sim (s',0) )（把圆柱的下底捏成一个单点，记为 ( p )，也就是锥的顶点）

接下来用Van Kampen定理拆分空间分析：
把 ( C_f ) 拆成两个开子集：

• ( U = C_f \setminus {p} )：去掉锥顶的部分。这个空间可以同伦收缩到X：因为 ( S^n \times [0,1) ) 能慢慢收缩到 ( S^n \times {1} )（也就是 ( f(S^n) )），而这部分本来就和X粘在一起，所以 ( U \simeq X )，自然 ( \pi_1(U) \cong \pi_1(X) )。
• ( V )：包含锥顶 ( p ) 的一个开邻域（比如取所有满足 ( t < \epsilon ) 的 ( (s,t) ) 对应的等价类，再加上 ( p )）。这个空间是可缩的——你可以把整个锥慢慢收缩到顶点 ( p )，所以 ( \pi_1(V) ) 是平凡群（只有单位元）。

然后看交集 ( U \cap V )：它对应 ( S^n \times (0,\epsilon) ) 的等价类，这个空间同伦等价于 ( S^n )（因为区间 ( (0,\epsilon) ) 是可缩的，收缩到任意一点）。而 ( S^n ) 的基本群：

• 当 ( n \geq 1 ) 时，( \pi_1(S^n) ) 是平凡群；
• 当 ( n=0 ) 时，( S^0 ) 是两个点，基本群也是平凡群（离散空间里没有非平凡环路）。

现在套用Van Kampen定理：
( \pi_1(C_f) = \pi_1(U) *_{\pi_1(U \cap V)} \pi_1(V) )
简单说就是把两个群做自由积，再附加交集基本群的等同关系。因为 ( \pi_1(V) ) 是平凡群，( \pi_1(U \cap V) ) 也是平凡群，所以附加的等同关系没有任何限制，最终结果就是 ( \pi_1(U) \cong \pi_1(X) )。

总结一下：不管 ( n \geq 0 )，只要X是路径连通空间，映射锥 ( C_f ) 的基本群就和X的基本群同构，也就是 ( \pi_1(C_f) \cong \pi_1(X) )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yunus Syed