Levy过程特征函数满足f(t+h)=f(t)f(h)的证明疑问

我来帮你理顺这个推导的思路，你一开始的方向是对的，但中间的变量替换出现了小偏差，下面是完整的推导步骤：

核心依赖：Levy过程的关键性质 #

首先要明确Levy过程的两个核心属性，这是推导的基础：

• 增量独立性：对任意$t,h>0$，增量$X_{t+h}-X_t$与$X_t$（或者说与$\mathcal{F}_t$，即到时刻$t$的信息流）相互独立
• 平稳增量：增量$X_{t+h}-X_t$的分布与$X_h$的分布完全相同，即$X_{t+h}-X_t \stackrel{d}{=} X_h$

直接从特征函数定义推导 #

我们从$f(t+h)$的定义出发：
$$
f(t+h) := \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} X_{t+h}}\right]
$$
把$X_{t+h}$拆成$X_t + (X_{t+h}-X_t)$（这一步你是对的），代入上式得到：
$$
f(t+h) = \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} \left(X_t + X_{t+h}-X_t\right)}\right] = \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} X_t} \cdot e^{i u^{\text{tr}} (X_{t+h}-X_t)}\right]
$$

接下来利用增量独立性：独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积，因此上式可以拆分为：
$$
\mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} X_t}\right] \cdot \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} (X_{t+h}-X_t)}\right]
$$

再结合平稳增量的性质：因为$X_{t+h}-X_t$和$X_h$同分布，它们的特征函数必然相等，即：
$$
\mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} (X_{t+h}-X_t)}\right] = \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} X_h}\right] = f(h)
$$
而$\mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} X_t}\right] = f(t)$，所以直接代入就得到：
$$
f(t+h) = f(t) \cdot f(h)
$$

用已知的鞅性质验证 #

你提到已知$M_t := \frac{e^{i u^{\text{tr}} X_t}}{f(t)}$是鞅，也可以用鞅的性质来推导这个结论：

鞅的定义是$\mathbb{E}\left[M_{t+h} \mid \mathcal{F}t\right] = M_t$，展开后就是：
$$
\mathbb{E}\left[\frac{e^{i u^{\text{tr}} X{t+h}}}{f(t+h)} \mid \mathcal{F}_t\right] = \frac{e^{i u^{\text{tr}} X_t}}{f(t)}
$$

把$X_{t+h} = X_t + (X_{t+h}-X_t)$代入左边，利用条件期望的性质：$X_t$是$\mathcal{F}t$可测的，可以提到条件期望外面；而增量$X{t+h}-X_t$独立于$\mathcal{F}t$，所以条件期望等于无条件期望：
$$
\frac{e^{i u^{\text{tr}} X_t}}{f(t+h)} \cdot \mathbb{E}\left[e^{i u^{\text{tr}} (X{t+h}-X_t)}\right] = \frac{e^{i u^{\text{tr}} X_t}}{f(t)}
$$

两边约去$e^{i u^{\text{tr}} X_t}$（这个式子几乎处处不为0），再结合平稳增量的特征函数等于$f(h)$，就得到：
$$
\frac{f(h)}{f(t+h)} = \frac{1}{f(t)} \implies f(t+h) = f(t)f(h)
$$

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