二次互反律相关同余式：红标等价性的解释与推广问询

一、红色等价关系成立的原因 #

咱们先拆解这个红色标注的式子，它的核心依据是欧拉判别法——这是二次剩余理论里的基础定理，内容是：
对于任意奇素数$q$，以及与$q$互素的整数$a$，勒让德符号$\left( \frac{a}{q} \right)$满足：
$$\left( \frac{a}{q} \right) \equiv a^{\frac{q-1}{2}} \pmod{q}$$

回到题目里的场景：这里的$q=5$是奇素数，而$\pm2$都和5互素（毕竟5是素数，±2都不是它的倍数），所以直接套用欧拉判别法，就得到了$\left( \frac{\pm 2}{5} \right) \equiv (\pm 2)^\frac{5-1}{2} \pmod{5}$这个等价关系。

简单补充下：勒让德符号$\left( \frac{a}{q} \right)$的取值是1（$a$是$q$的二次剩余）、-1（$a$是$q$的二次非剩余）或0（$a$是$q$的倍数），欧拉判别法的作用就是把这个符号和模$q$的幂运算结果直接挂钩，把抽象的二次剩余判断转化成了具体的同余计算。

二、这个关系是通用结论还是特殊情况？ #

这绝对是通用结论，只要满足两个前提条件：

• $q$是奇素数；
• 整数$a$与$q$互素（也就是$\gcd(a,q)=1$）。

不管$q$是5还是其他奇素数（比如7、11、13），也不管$a$是±2还是其他与$q$互素的整数，这个等价关系都成立。举个实际例子验证下：取$q=7$，$a=3$，勒让德符号$\left( \frac{3}{7} \right)=-1$，而$3^{\frac{7-1}{2}=3}3=27$，$27 \equiv -1 \pmod{7}$，完全符合这个等价关系。

甚至当$a$和$q$不互素时（也就是$a$是$q$的倍数），勒让德符号$\left( \frac{a}{q} \right)=0$，而$a^{\frac{q-1}{2}}$因为是$q$的倍数的幂次，模$q$结果也是0，这时候等价关系依然成立，只是这种情况属于特殊场景而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者blueplusgreen