扑克牌组合问题：含至少一张J/Q/K/A的13张手牌数量计算

问题描述 #

一副扑克牌共52张不同的牌，其中包含4张J（Jack）、4张Q（Queen）、4张K（King）和4张A（Ace）。规定一手有效手牌由任意13张牌组成，请问满足至少包含一张J、一张Q、一张K和一张A的不同手牌有多少种？

你的尝试思路（补集法的正确起点） #

你提到用补集法的方向完全没问题，但只减去“不包含所有J/Q/K/A”的情况是不够的——补集还包括“只缺J”“只缺Q”这类单一缺失、甚至多种缺失的情况，得用容斥原理才能完整算对补集的数量。

你的初始尝试片段：

• 无限制的所有可能手牌数：$\binom{52}{13}$
• 不包含J、Q、K、A的所有可能手牌数：$\binom{36}{13}$

接下来我们把这个思路补全~

完整的容斥原理解法 #

我们要求的是“至少各有一张J/Q/K/A”的手牌数，等价于总手牌数减去“缺少至少一种大牌（J/Q/K/A）”的手牌数。根据容斥原理，补集的计算需要分步骤调整重复计算的部分：

1. 总手牌数：所有13张牌的组合数，即 $\binom{52}{13}$
2. 减去缺少任意一种大牌的手牌数：比如缺少J的手牌，是从剩下的48张牌（52-4）选13张，每种单缺情况的数量是$\binom{48}{13}$，共4种（缺J、缺Q、缺K、缺A），所以这部分是 $4 \times \binom{48}{13}$
3. 加上缺少任意两种大牌的手牌数：前面的减法把“同时缺两种”的情况多减了一次，得加回来。比如同时缺J和Q，是从剩下的44张牌（52-8）选13张，两两组合共有$\binom{4}{2}=6$种，所以这部分是 $6 \times \binom{44}{13}$
4. 减去缺少任意三种大牌的手牌数：前面的加法把“同时缺三种”的情况多加了一次，得减去。比如同时缺J、Q、K，是从剩下的40张牌（52-12）选13张，三种组合共有$\binom{4}{3}=4$种，所以这部分是 $4 \times \binom{40}{13}$
5. 加上缺少所有四种大牌的手牌数：最后，前面的减法把“同时缺四种”的情况多减了一次，得加回来，也就是你一开始提到的$\binom{36}{13}$

把这些项组合起来，最终的计算公式就是：
$$\binom{52}{13} - 4\binom{48}{13} + 6\binom{44}{13} - 4\binom{40}{13} + \binom{36}{13}$$

如果需要具体数值，代入组合数公式计算即可，这个表达式就是标准的答案形式啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ashuv Halim