如何绘制方程$$|x|+x=|y|+y$$的图像？能否不借助绘图计算器完成？

没问题，咱们完全不用绘图计算器，靠分情况拆解就能轻松画出这个方程的图像，一步步来：

首先，咱们先单独分析方程左右两边的表达式——因为绝对值的特性，不同区间的取值会让表达式大幅简化：

第一步：拆解左边 $|x| + x$ #

• 当 $x \geq 0$ 时，$|x| = x$，所以左边简化为 $x + x = 2x$
• 当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，所以左边简化为 $-x + x = 0$

第二步：拆解右边 $|y| + y$ #

• 当 $y \geq 0$ 时，$|y| = y$，所以右边简化为 $y + y = 2y$
• 当 $y < 0$ 时，$|y| = -y$，所以右边简化为 $-y + y = 0$

第三步：分四种组合情况讨论方程 #

现在把x和y的正负区间组合起来，逐一分析方程的解：

1. 情况1：$x \geq 0$ 且 $y \geq 0$
   方程变为 $2x = 2y$，也就是 $x = y$。这对应第一象限内，从原点出发向右上方延伸的射线（包含原点）。

2. 情况2：$x \geq 0$ 且 $y < 0$
   左边是 $2x$，右边是 $0$，方程变为 $2x = 0$ → $x = 0$。结合条件 $y < 0$，这对应y轴的负半轴（从原点向下延伸的射线，仅包含y<0的部分）。

3. 情况3：$x < 0$ 且 $y \geq 0$
   左边是 $0$，右边是 $2y$，方程变为 $0 = 2y$ → $y = 0$。结合条件 $x < 0$，这对应x轴的负半轴（从原点向左延伸的射线，仅包含x<0的部分）。

4. 情况4：$x < 0$ 且 $y < 0$
   左边是 $0$，右边是 $0$，等式 $0=0$ 恒成立。这意味着整个第三象限的所有点都满足这个方程。

第四步：组合所有解得到图像 #

把上面四个情况的结果组合起来，图像就是：

• 整个第三象限区域（所有x<0、y<0的点）
• x轴负半轴（x<0，y=0的射线）
• y轴负半轴（x=0，y<0的射线）
• 第一象限内的射线 $x=y$（x≥0、y≥0且x=y的点）

画的时候可以先标好坐标轴，先涂黑第三象限区域，再画出那三条射线，就搞定啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user499760