群G的交换子群G'与任意子群H的乘积G'H是否在G中正规？

咱们先直接给结论：G'H在G中确实是正规子群。下面用两种思路来验证，你可以选自己觉得顺手的理解：

方法一：借助商群的交换性与对应定理 #

• 首先回忆交换子群G'的关键性质：G'是G的正规子群，并且商群G/G'是交换群（这是交换子群的核心定义——它是所有交换子[g,h]=ghg⁻¹h⁻¹生成的子群，商群里所有元素的交换子都落在G'里，所以商群自然交换）。
• 已知G'H是G的子群（正规子群和任意子群的乘积必为子群，这点你已经确认过）。现在看商群G/G'：
  • G'H在商群中的像就是(G'H)/G'，而因为G'和H的乘积满足G'H=HG'，这个像也等于HG'/G'。
  • 交换群的所有子群都是正规子群，所以HG'/G'在G/G'中是正规的。
  • 根据群的对应定理（第四同构定理）：商群中的正规子群，恰好对应原群中包含G'的正规子群。而G'H显然包含G'，所以G'H在G中必然是正规子群。

方法二：直接验证共轭封闭性 #

如果不想用同构定理，咱们直接从正规性的定义出发验证：

• 对任意g∈G，任意x∈G'H，x可以写成x=g'h（其中g'∈G'，h∈H）。
• 计算x的共轭：gxg⁻¹ = g(g'h)g⁻¹ = (gg'g⁻¹)(ghg⁻¹)。
• 因为G'是正规子群，所以gg'g⁻¹∈G'，记这个元素为g''。
• 再看ghg⁻¹：注意到ghg⁻¹h⁻¹ = [g,h]是交换子，属于G'，所以ghg⁻¹ = [g,h]·h ∈ G'H。
• 因此gxg⁻¹ = g''·(ghg⁻¹) ∈ G'·(G'H)，而G'H是子群，满足封闭性，所以G'·(G'H)=G'H。
• 这就说明g(G'H)g⁻¹⊆G'H，结合共轭是双射的性质，必然有g(G'H)g⁻¹=G'H，即G'H是正规子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ronald