技术问询：求曲线$y=x^2$经线性变换$w=2iz+(1-i)$的映射结果

嘿，我来帮你搞定这个复变函数的线性变换问题！其实这类问题拆解开来一点都不难，咱们一步步来：

首先明确复变量的实虚部表示：

• 设原复平面的点为 $z = x + iy$（$x,y$ 为实数），对应曲线条件为 $y=x^2$
• 变换后的目标复平面点为 $w = u + iv$（$u,v$ 为实数），我们需要找出 $u$ 和 $v$ 的对应关系

接下来代入变换公式展开计算：
把 $z=x+iy$ 代入 $w=2iz+(1-i)$，先写出展开式：

w = 2i(x + iy) + (1 - i)

逐步化简（记得 $i^2=-1$）：

= 2ix + 2i²y + 1 - i
= 2ix - 2y + 1 - i

将实部和虚部分开整理，对应 $w=u+iv$ 的结构：

= (-2y + 1) + (2x - 1)i

由此得到实虚部的对应等式：

• $u = -2y + 1$
• $v = 2x - 1$

现在结合原曲线的条件 $y=x^2$，把 $x,y$ 用 $u,v$ 表示后代入：
从 $v=2x-1$ 解出 $x = \frac{v+1}{2}$
从 $u=-2y+1$ 解出 $y = \frac{1 - u}{2}$

将这两个表达式代入 $y=x^2$：

\frac{1 - u}{2} = \left( \frac{v+1}{2} \right)^2

最后整理成标准形式：
两边乘4消去分母：

2(1 - u) = (v + 1)^2

进一步整理为直观的抛物线形式：

u = -\frac{1}{2}(v + 1)^2 + 1

这就是变换后的曲线，是一条开口向左的抛物线~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shane Dizzy Sukardy