求证Hilbert空间上满足特定内积条件的有界线性算子为零算子

嗨，这个问题可以通过极化恒等式结合算子的性质来解决，我给你分情况拆解，一步步理清楚：

一、复Hilbert空间的情况 #

在复Hilbert空间中，其实仅靠条件 $\langle Tx,x\rangle = 0, \forall x \in H$ 就能直接推出 $T=0$，具体步骤如下：

• 利用复极化恒等式：对任意 $x,y \in H$，有
  $$\langle Tx,y\rangle = \frac{1}{4}\left(\langle T(x+y),x+y\rangle - \langle T(x-y),x-y\rangle + i\langle T(x+iy),x+iy\rangle - i\langle T(x-iy),x-iy\rangle\right)$$
• 因为对任意 $z \in H$，$\langle Tz,z\rangle=0$，所以上式右边的每一项都为0，直接得到 $\langle Tx,y\rangle=0$ 对所有 $x,y \in H$ 成立。
• 取 $y=Tx$，则 $\langle Tx,Tx\rangle=||Tx||^2=0$，所以 $Tx=0$ 对所有 $x \in H$，即 $T=0$。

二、实Hilbert空间的情况 #

实Hilbert空间中，仅 $\langle Tx,x\rangle=0$ 不足以推出 $T=0$（比如$\mathbb{R}^2$中旋转90度的算子），这时候就需要用到 $\langle T^2x,x\rangle=0$ 的条件：

1. 先利用实极化恒等式，由 $\langle Tx,x\rangle=0$ 推出 $T$ 是反对称算子：
   实极化恒等式为：
   $$\langle Tx,y\rangle = \frac{1}{4}\left(\langle T(x+y),x+y\rangle - \langle T(x-y),x-y\rangle\right)$$
   同样因为 $\langle T(x+y),x+y\rangle=0$，$\langle T(x-y),x-y\rangle=0$，展开后得到 $\langle Tx,y\rangle = -\langle Ty,x\rangle$，即 $T^*=-T$（反对称）。
2. 利用反对称性和 $\langle T^2x,x\rangle=0$ 的条件推导 $T=0$：
   因为 $T$ 反对称，所以 $T^2=T\cdot T=-T^*T$，那么
   $$\langle T^2x,x\rangle = \langle -T^*Tx,x\rangle = -\langle Tx,Tx\rangle = -||Tx||^2$$
   题目中说这个值对所有 $x$ 都是0，所以 $-||Tx||^2=0$，即 $||Tx||=0$ 对所有 $x \in H$，因此 $Tx=0$，即 $T=0$。

这样不管是复还是实Hilbert空间，结合给定的两个条件，都能推出 $T=0$ 啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chiranjeev_Kumar