如何用序列法证明集合{(x,y)∈ℝ² : x+y≥0}是闭集？

其实序列法证明闭集的核心逻辑非常直接：只要证明集合中任意收敛序列的极限点仍然属于这个集合，就可以说明它是闭集。我给你拆成一步步的具体操作：

• 第一步：先设定序列与收敛性
  假设我们取集合 ( S ) 中的任意一个收敛序列 ( { (x_n, y_n) }_{n=1}^\infty )，也就是说对于每一个正整数 ( n )，都满足 ( (x_n, y_n) \in S )，根据集合的定义，这意味着对所有 ( n )，都有 ( x_n + y_n \geq 0 )。
  同时，这个序列在 ( \mathbb{R}^2 ) 中收敛，设它的极限为 ( (x_0, y_0) )。根据二维欧氏空间中收敛的定义，这等价于两个实数序列分别收敛：( x_n \to x_0 ) 且 ( y_n \to y_0 )（这里的收敛是实数域上的普通收敛）。

• 第二步：利用实数序列的收敛性质推导极限的不等式
  我们知道实数序列有个基本性质：如果 ( a_n \to a )，( b_n \to b )，那么它们的和序列也收敛到和的极限，也就是 ( a_n + b_n \to a + b )。
  把这里的 ( a_n = x_n )，( b_n = y_n ) 代入，就能得到 ( x_n + y_n \to x_0 + y_0 )。

• 第三步：用非负序列的极限性质收尾
  还有个关键的实数序列结论：如果一个实数序列 ( c_n ) 收敛到 ( c )，并且对所有 ( n ) 都有 ( c_n \geq 0 )，那么它的极限 ( c ) 也一定满足 ( c \geq 0 )。
  这里我们的 ( c_n = x_n + y_n )，显然每个 ( c_n \geq 0 )，所以它的极限 ( x_0 + y_0 \geq 0 )，这就说明 ( (x_0, y_0) \in S )。

• 最后总结
  因为我们取的是 ( S ) 中任意的收敛序列，它的极限都落在 ( S ) 里，完全符合闭集的序列定义，所以 ( S ) 是闭集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SZHOU