无上界正序列必趋于无穷？求证或证伪该命题并求反例

嘿，咱们先把问题拆解开来看：

首先回答你的第一个疑问：无上界的序列确实是发散的，但不一定发散到无穷。因为收敛的序列必然有界，反过来，无界的序列肯定不收敛（也就是发散），但发散的形式不止“趋向无穷”这一种——它可以在大值和小值之间来回震荡，只要能无限突破任何给定的边界就行。

接下来直接证伪你提到的命题：

若对所有$n \in \mathbb{N}$，有$a_n > 0$，且序列$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$无上界，则$a_n \to \infty$。

这个命题是假的，给你举个直观的反例：

• 构造序列$(a_n)$：当$n$是完全平方数时（比如$n=1,4,9,16,...$），令$a_n = n$；
• 当$n$不是完全平方数时，令$a_n = 1$。

咱们来验证这个序列的性质：

1. 所有$a_n > 0$：显然成立，不管是1还是平方数对应的$n$，都是正数；
2. 序列无上界：不管你给出多大的正数$M$，总能找到一个平方数$k^2 > M$，此时$a_{k^2}=k2 > M$，所以序列能突破任何边界，是无上界的；
3. 但$a_n \nrightarrow \infty$：因为序列里有无穷多个项都是1，不管$n$多大，总能找到对应的项等于1，不会无限趋近于无穷大。

你之前觉得命题为真，可能是把“无上界”和“单调递增”混淆了——如果是单调递增的正无上界序列，那它确实会趋向无穷，但无上界的序列完全可以不单调，它只需要能无限次取到足够大的值，中间可以随时掉回小值，这样就满足无上界，但不会趋向无穷。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Max