等价关系是否为完全关系？即其所有元素是否两两相关？

先给你一个明确的结论：等价关系并不一定是完全关系——也就是说，等价关系里的元素未必都两两相关。咱们结合你提到的定义和实际例子来拆解：

先把核心概念理清楚 #

先回顾下几个关键定义（你已经提到了一部分，这里补全并关联起来）：

• 等价关系：必须满足三个性质：自反性（每个元素都和自己相关）、对称性（如果a和b相关，那b也和a相关）、传递性（如果a和b相关，b和c相关，那a和c也相关）。
• 完全关系（全域关系）：集合S上的关系R要是完全关系，得满足：对S里任意两个元素a和b，不管是谁，都有(a,b)∈R——简单说就是“所有元素两两都沾边”。
• 等价类与划分：你说得很对，等价关系的等价类会把集合S分成一组互不相交的非空子集，这些子集加起来就是整个S。这是理解两者区别的核心。

为什么等价关系≠完全关系？ #

等价关系的本质是把集合分成“同类组”（等价类），但完全关系要求所有元素都在同一个组里：

• 如果一个等价关系是完全关系，那它的划分只能有一个等价类（就是整个集合S），因为所有元素都两两相关，自然都属于同一类。
• 但等价关系完全允许划分包含多个互不相交的等价类，这时候不同类里的元素之间就没有关系——这就不符合完全关系的要求了。

举两个直观的例子：

1. 整数模2同余关系：在整数集ℤ上定义关系R：aRb当且仅当a和b除以2的余数相同（都是偶数或都是奇数）。
   • 这显然是等价关系：自反（自己和自己余数肯定相同）、对称（a和b余数相同，那b和a也一样）、传递（a和b同余，b和c同余，a和c肯定也同余）。
   • 它的等价类是两个：偶数集{..., -2, 0, 2, ...}和奇数集{..., -1, 1, 3, ...}。
   • 你看，奇数1和偶数2之间就没有关系（1R2不成立），所以这个等价关系不是完全关系。
2. 集合上的相等关系：比如集合S={1,2,3}，定义R为“a和b相等”。
   • 这也是等价关系（满足三个性质），但每个元素自己构成一个等价类：[1]={1}，[2]={2}，[3]={3}。
   • 显然1和2、2和3之间都没有关系，完全不是完全关系。

当然，也存在既是等价关系又是完全关系的情况——比如集合S上的全域关系（所有元素两两都相关），它满足自反、对称、传递性，所以是等价关系，同时也是完全关系。但这只是等价关系的一种特殊情况，不是全部。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RajS