GF(16)中极小多项式共轭元素计算疑问咨询

问题1：为什么α³的第4个共轭是α⁹？α^18为何不是直接作为共轭？ #

在GF(2⁴)=GF(16)里，元素的共轭是通过Frobenius自同构生成的——简单说就是把元素映射到它的平方（因为这里特征p=2）。对于本原元α来说，每个元素的共轭序列是反复对指数做「乘2后模15」的操作（因为α¹⁵=1，指数超过15就取模15），直到回到初始指数为止。

咱们一步步算α³的共轭：

• 第1个元素：α³（初始元素）
• 第2个：(α³)² = α^(3×2) = α⁶
• 第3个：(α⁶)² = α^(6×2) = α¹²
• 第4个：(α¹²)² = α^(12×2) = α²⁴。24模15等于9，所以就是α⁹
• 再往下平方：(α⁹)²=α¹⁸=α^(15+3)=α³，回到了起点

你提到的α¹⁸确实等于α³，但它是第5次应用自同构的结果，已经和初始元素重复了。我们要的是不重复的共轭元素，所以第4个共轭是α⁹，而不是α¹⁸。

问题2：为什么α⁷的第3、4个共轭是α^13和α11？ #

同样用Frobenius自同构的规则推导：

• 第1个元素：α⁷（初始元素）
• 第2个：(α⁷)²=α^(7×2)=α¹⁴
• 第3个：(α¹⁴)²=α^{(14×2)=α²⁸。28模15等于13，所以是α}13
• 第4个：(α^13)²=α(13×2)=α²⁶。26模15等于11，所以是α^11
• 再往下平方：(α^{11)²=α²²=α}(15+7)=α⁷，回到起点

所以共轭序列是α⁷→α¹⁴→α^13→α11→α⁷，第3、4个不重复的共轭自然就是α^13和α11了。

简单总结：GF(pⁿ)里元素的共轭类，就是通过反复对元素取p次方（对应指数乘p后模(pⁿ-1)）生成的所有不重复元素，直到回到原元素为止。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aladin Express