矩阵变换为上对角矩阵后特征值是否不变？行初等变换情形如何？

这个问题的核心在于你用的是什么变换：

• 如果是通过相似变换实现的上对角化（也就是存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$ 是上三角/对角矩阵），那特征值绝对保持不变。因为相似矩阵的特征多项式完全相同，特征值自然一模一样——这也是我们做相似对角化的核心原因之一，就是为了能更方便地获取原矩阵的特征值。
• 但如果是随便的变换（比如直接硬凑出上对角形式，不满足相似变换的要求），那特征值大概率会变。比如你直接把某一行全改成0，得到的上对角矩阵特征值肯定和原矩阵不一样。

答案是一般不相同，原因很简单：行初等变换本质是给原矩阵左乘一个初等矩阵$E$，得到$EA$，而$EA$和$A$并不是相似矩阵（相似需要满足$EA = P^{-1}AP$，这对普通初等矩阵来说几乎不成立）。

举两个直观的例子：

1. 原矩阵 $A = \begin{pmatrix}1&1\0&2\end{pmatrix}$，特征值是1和2。如果做行交换变换，得到 $\begin{pmatrix}0&2\1&1\end{pmatrix}$，它的特征值是 $1+\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt{2}$，和原矩阵完全不同。
2. 原矩阵 $A = \begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$，特征值是3和1。做行变换 $R2 = R2 - 2R1$，得到 $\begin{pmatrix}2&1\-3&0\end{pmatrix}$，特征值是 $1+\sqrt{2}i$ 和 $1-\sqrt{2}i$，和原矩阵的实特征值完全不沾边。

当然也存在极个别巧合的情况（比如原矩阵本身是单位矩阵，行变换后还是单位矩阵，特征值不变），但这只是特例，行初等变换不保证特征值和原矩阵一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IliassA