请求协助证明连续函数的保号性定理

没问题，我来帮你补全这个连续函数局部保号性定理的完整证明，步骤严格贴合$\epsilon-\delta$连续性定义，逻辑清晰：

定理陈述 #

设$A \subset \mathbb{R}$为非空集合，$c \in A$，函数$f: A \rightarrow \mathbb{R}$在点$c$处连续。

1. 若$f(c)>0$，则存在$M>0$和$\delta>0$，使得当$x \in A$且$|x-c|<\delta$时，有$f(x)> M$；
2. 若$f(c)<0$，则存在$N<0$和$\delta>0$，使得当$x \in A$且$|x-c|<\delta$时，有$f(x)<N$。

证明过程 #

首先回顾函数在点$c$连续的$\epsilon-\delta$定义：

$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$，即对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$x \in A$且$|x - c| < \delta$时，有$|f(x) - f(c)| < \epsilon$。

1. 当$f(c) > 0$时的证明 #

已知$f$在$c$处连续，我们选取$\epsilon = \frac{f(c)}{2}$（显然$\epsilon > 0$，因为$f(c) > 0$）。
根据连续性定义，存在$\delta > 0$，当$x \in A$且$|x - c| < \delta$时，满足：
$$|f(x) - f(c)| < \frac{f(c)}{2}$$
将绝对值不等式展开：
$$-\frac{f(c)}{2} < f(x) - f(c) < \frac{f(c)}{2}$$
对左边的不等式进行移项变形：
$$f(x) > f(c) - \frac{f(c)}{2} = \frac{f(c)}{2}$$
令$M = \frac{f(c)}{2}$，显然$M > 0$。因此，当$x \in A$且$|x - c| < \delta$时，$f(x) > M$，证毕。

2. 当$f(c) < 0$时的证明 #

同样基于连续性定义，我们选取$\epsilon = -\frac{f(c)}{2}$（由于$f(c) < 0$，$-\frac{f(c)}{2}$是正数，符合$\epsilon > 0$的要求）。
根据连续性定义，存在$\delta > 0$，当$x \in A$且$|x - c| < \delta$时，满足：
$$|f(x) - f(c)| < -\frac{f(c)}{2}$$
展开绝对值不等式：
$$f(c) - \left(-\frac{f(c)}{2}\right) < f(x) < f(c) + \left(-\frac{f(c)}{2}\right)$$
化简右边的不等式：
$$f(x) < \frac{f(c)}{2}$$
令$N = \frac{f(c)}{2}$，显然$N < 0$（因为$f(c) < 0$）。因此，当$x \in A$且$|x - c| < \delta$时，$f(x) < N$，证毕。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cody S