基于自旋1/2粒子的EPR-Bohm悖论与Robertson不确定关系探讨

咱们来拆解自旋1/2粒子的玻姆版EPR悖论，先看这个两体系统的量子态：
$$ \vert \Psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert \uparrow_x \rangle_A \vert \downarrow_x \rangle_B - \vert \downarrow_x \rangle_A \vert \uparrow_x \rangle_B \right) ; $$

这里有个关键观测结论：只要测量粒子A的自旋，不管选择x、y还是z哪个方向，都能精准预言粒子B的自旋结果。按照EPR的论证逻辑，这似乎意味着粒子B的$\sigma_x^{B$、$\sigma_y}B$和$\sigma_z^B$三个自旋分量，都应该具备确定的预先值——毕竟我们不用直接触碰B，就能通过A的测量结果知晓它的自旋状态。

但这就和量子力学的核心原理产生了冲突：咱们回忆下Robertson不确定关系，对于任意两个不对易的可观测量$\hat{O}_1$和$\hat{O}_2$，满足
$$ \Delta \hat{O}_1 \Delta \hat{O}_2 \geq \frac{1}{2} \vert \langle [\hat{O}_1, \hat{O}_2] \rangle \vert $$
而自旋的三个分量$\sigma_x$、$\sigma_y$、$\sigma_z$两两不对易，比如$[\sigma_x, \sigma_y] = 2i\sigma_z$，这就意味着它们不可能同时拥有确定的值——这和EPR论证得出的结论直接矛盾。

这个矛盾的核心其实在于EPR隐含的定域实在论假设：认为物理量的实在性不依赖于观测，且定域内的测量不会瞬间影响远处的系统。但量子力学的非定域性打破了这个假设，粒子A和B处于纠缠态，它们的自旋状态是强关联而非各自独立拥有确定值，测量A的行为实际上是坍缩了整个两体系统的波函数，而非“揭示”B预先存在的自旋值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者m137