如何证明积分∫₀^∞sin(e^x)dx的收敛性（不计算积分）

嘿，我来帮你搞定这个问题！不用直接计算积分，咱们通过变量替换+狄利克雷判别法就能轻松证明它的收敛性，步骤如下：

• 第一步：变量替换简化积分
  令 ( t = e^x )，那么 ( x = \ln t )，对x求导得 ( dx = \frac{dt}{t} )。当x从0趋近于∞时，t的范围从1（( e^0=1 )）趋近于∞。原积分就转化为：
  [
  \int_{0}^{\infty} \sin(e^x)dx = \int_{1}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt
  ]
  现在问题就变成了证明这个更常见的积分形式收敛。

• 第二步：应用狄利克雷判别法
  狄利克雷判别法的核心条件是：

  1. 函数 ( g(t) ) 在区间 ([a, \infty)) 上单调，且当 ( t \to \infty ) 时 ( g(t) \to 0 )；
  2. 函数 ( f(t) ) 的积分 ( \int_{a}^{b} f(t)dt ) 当 ( b \to \infty ) 时是有界的。

  对应到我们的新积分：

  • 取 ( f(t) = \sin t )，计算它的积分：( \int_{1}^{b} \sin t dt = -\cos b + \cos 1 )。因为 ( |\cos b| \leq 1 )，所以这个积分的绝对值始终满足 ( |-\cos b + \cos 1| \leq |\cos b| + |\cos 1| \leq 2 )，显然是有界的，满足条件2。
  • 取 ( g(t) = \frac{1}{t} )，它在 ([1, \infty)) 上单调递减，而且当 ( t \to \infty ) 时 ( \frac{1}{t} \to 0 )，完全满足条件1。

  根据狄利克雷判别法，( \int_{1}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt ) 收敛，因此原积分 ( \int_{0}^{\infty} \sin(e^x)dx ) 也收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gefavasej