离散拓扑定义解析及复数集是否为离散拓扑的技术咨询

先把咱们要用到的定义摆出来：

离散拓扑是指每个集合均为开集（因此每个集合也均为闭集）的拓扑。

接下来分两个角度回答你的问题，避免混淆：

1. 复数集能用上离散拓扑吗？ #

当然可以！其实任何集合都能赋予离散拓扑——只要咱们拍板：复数集里的每一个子集（不管是单个复数、某个圆盘里的点、甚至整个复数集本身）全算开集。这样一来，完全符合离散拓扑的定义。在这个拓扑下，每个复数都是孤立点，因为你能找到只包含它自己的开邻域（就是它自己构成的单元素集）。

2. 咱们平时说的复数集，用的是离散拓扑吗？ #

这就得划重点了：不是！咱们讨论复数时，默认用的是欧几里得拓扑——简单说就是把复数看成平面上的点，用开圆盘来定义邻域的那种拓扑。在这个拓扑里，单元素集不是开集：你没法画一个只包含某个复数的开圆盘，毕竟圆盘里总能装下其他点。所以默认状态下的复数集，绝对不是离散拓扑空间。

总结一下：

• 复数集可以被定义成离散拓扑空间，只要咱们指定所有子集都是开集；
• 但日常用的复数集自带的拓扑，不是离散拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Asim90