已知随机变量X均值为0、方差为σ_x²，求X²的均值与方差

嘿，你对$X^{2$均值的推导完全没问题！我来帮你梳理$X}2$的方差计算思路～

均值推导回顾 #

你已经用到了方差的核心定义，推导非常准确：
$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^{2}) - \operatorname{E}^{2}(X)$$
因为$X$的均值$\operatorname{E}(X)=0$，所以$\operatorname{E}^2(X)=0$，代入后直接得出：
$$\operatorname{E}(X^2) = \sigma_x^2$$

$X^2$的方差计算 #

要计算$\operatorname{Var}(X^2)$，我们依然从方差的定义出发：
对于任意随机变量$Y$，有$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{E}(Y^2) - \left[\operatorname{E}(Y)\right]^2$

令$Y=X^2$，代入公式后得到：
$$\operatorname{Var}(X^2) = \operatorname{E}\left[(X²⁾2\right] - \left[\operatorname{E}(X^2)\right]2$$
化简后就是：
$$\operatorname{Var}(X^2) = \operatorname{E}(X^4) - (\sigma_x²⁾2 = \operatorname{E}(X^4) - \sigma_x^4$$

这里的关键是要获取$X$的四阶原点矩$\operatorname{E}(X^4)$，不同分布的四阶矩取值不同：

• 如果$X$是正态分布（即$X \sim N(0, \sigma_x^{2)$），正态分布的四阶矩满足$\operatorname{E}(X}4)=3\sigma_x^4$，代入后可得：
  $$\operatorname{Var}(X^2) = 3\sigma_x^4 - \sigma_x^4 = 2\sigma_x^4$$
• 如果是其他分布（比如均匀分布、泊松分布等），需要先根据该分布的概率密度函数（或分布律）计算出$\operatorname{E}(X^4)$，再代入上述公式得到最终的方差结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Florian