关于形如$2\pi(n)p_n+1$的素数的研究问询

最近我受到OEIS序列A088348的启发，着手探究一个关于素数构造的问题：对于所有满足$1\leq n$的整数$n$，是否存在形如
$$2\pi(n)p_n+1\tag{1}$$
的素数？这里需要说明的是，$\pi(x)$表示素数计数函数，$p_n$则代表第$n$个素数。

按照上述公式计算得到的序列起始项为：
$$7, 29, 67, 79, 137, 233, 311,\ldots\tag{2}$$

我查阅了现有文献，目前还没有发现关于这个序列的记载。因此我希望先给这个序列明确定义，再深入挖掘它可能具备的各类性质；同时，我计划结合素数定理，通过比较检验的方法来展开相关的分析与论断。

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