动量是否按质量分配？两球碰撞后速度计算及快慢判定问题

嘿，我来帮你把这些碰撞相关的问题掰扯清楚，一个个拆解：

1. 动量是否按质量分配？ #

首先得纠正一个概念：动量本身不是“按质量分配”的。碰撞过程中总动量守恒——也就是碰撞前所有物体的动量总和，等于碰撞后的总动量，但单个物体的动量分配，完全取决于碰撞的类型（弹性/非弹性），不是简单按质量比例来分的。比如你例子里，初始总动量是2kg小球的动量，碰撞后这部分动量会分给两个球，但具体谁分得多，要看碰撞时动能有没有损失。

2. 弹性碰撞：2kg运动球撞1kg静止球，谁更快？ #

弹性碰撞的特点是动量守恒+动能守恒（没有能量损失）。我们代入你的数值来算：
已知$m_1=2\mathrm{kg}$（初速度$v_0$），$m_2=1\mathrm{kg}$（初速度0），用两个守恒方程：

动量守恒：$m_{1}v_{0} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}$
动能守恒：$\frac{1}{2}m_{1}v_{0}^2 = \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^2 + \frac{1}{2}m_{2}u_{2}^2$

解这两个方程，能得到碰撞后的速度：

• 2kg小球的速度：$u_{1} = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{0} = \frac{2-1}{2+1}v_{0} = \frac{v_{0}}{3}$
• 1kg小球的速度：$u_{2} = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{0} = \frac{4}{3}v_{0}$

很明显，1kg的静止小球碰撞后速度更快，甚至超过了2kg小球的初始速度。

3. 非弹性碰撞：谁更快？ #

非弹性碰撞的核心是动量守恒，但动能有损失，分两种情况：

• 完全非弹性碰撞：碰撞后两个球粘在一起运动，这时候它们的速度完全相同，$u_{1}=u_{2}=u$。代入动量守恒公式：$2v_{0}=(2+1)u$，解得$u=\frac{2v_{0}}{3}$，两者速度一样。
• 非完全非弹性碰撞：碰撞后不粘在一起，但有动能损失。这时候我们需要用到恢复系数e（0<e<1，代表碰撞的“弹性程度”），公式是$u_{2}-u_{1}=e(v_{0}-0)$（碰撞后相对速度=e×碰撞前相对速度）。结合动量守恒联立求解，会得到：
  $u_{1}=\frac{2v_{0}-ev_{0}}{3}$，$u_{2}=\frac{2v_{0}+2ev_{0}}{3}$
  显然$u_{2}>u_{1}$，所以还是1kg的小球速度更快——毕竟碰撞后运动的球不能穿过静止的球，所以轻球的速度肯定不会比重球慢。

4. 如何计算碰撞后的速度？ #

根据碰撞类型不同，计算方式不一样：

弹性碰撞 #

必须同时用动量守恒和动能守恒两个方程，代入数值后直接套用推导好的公式就行，就是刚才算的$u_{1}=\frac{v_{0}}{3}$，$u_{2}=\frac{4v_{0}}{3}$。

非弹性碰撞 #

• 完全非弹性：只用动量守恒，且两球速度相同，公式：

  u = (m₁/(m₁+m₂))v₀
  

  代入数值得到$u=\frac{2v_{0}}{3}$。
• 非完全非弹性：需要知道恢复系数e，联立动量守恒和恢复系数公式：

  m₁v₀ = m₁u₁ + m₂u₂
  u₂ - u₁ = e*v₀
  

  代入数值解出$u_{1}=\frac{(2-e)v_{0}}{3}$，$u_{2}=\frac{(2+2e)v_{0}}{3}$。

5. 速度是否按质量比例分配？ #

绝对不是。比如弹性碰撞中，两球质量比是2:1，但速度比是1:4，完全不是反比或正比关系；完全非弹性碰撞中，两球速度相同，更谈不上按质量分配。速度的分配由动量守恒+碰撞的能量损失情况共同决定，没有简单的质量比例关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者K-Feldspar