既约Noether环上满足Ass(M)⊂Min(R)的秩n模到Rⁿ的单射映射证明问询

这个问题可以分两步来解决：先构造出从$M$到$R^n$的$R$-线性映射，再利用给定的条件证明这个映射是单射。下面是具体的细节：

已知$M$是秩为$n$的有限生成$R$-模，$R$是既约Noether环，因此$\operatorname{Min}(R)$是有限集（Noether环的极小素理想个数有限），记$\operatorname{Min}(R)={\mathfrak{p}_1,\mathfrak{p}_2,\dots,\mathfrak{p}_k}$。

对于每个极小素理想$\mathfrak{p}i$，局部化后的环$R{\mathfrak{p}i}$是一个既约Noether局部环——而既约Noether局部环的极小素理想就是它的极大理想，因此$R{\mathfrak{p}_i}$是域（既约局部环的极大理想是唯一素理想，且无零幂元，符合域的定义）。

由于$M$的秩为$n$，局部化模$M_{\mathfrak{p}i}$是域$R{\mathfrak{p}i}$上的$n$维向量空间，即$M{\mathfrak{p}i}\cong (R{\mathfrak{p}i})^n$，因此存在$R{\mathfrak{p}i}$-线性同构$f{\mathfrak{p}i}:M{\mathfrak{p}i}\to (R{\mathfrak{p}_i})^n$。

因为$M$是有限生成$R$-模，我们可以将局部化的同构“提升”为$R$-线性映射：对于每个$i$，存在$R$-线性映射$f_i:M\to R^n$，使得$f_i$在$\mathfrak{p}i$处的局部化就是$f{\mathfrak{p}_i}$（有限生成模的局部化映射可由原模上的映射诱导，通过选取生成元的像即可构造这样的$f_i$）。

接下来，利用极小素理想的性质：$\mathfrak{p}j + \bigcap{i\neq j}\mathfrak{p}_i = R$（$\mathfrak{p}_j$是极小素，其他极小素的交不包含于$\mathfrak{p}_j$）。根据中国剩余定理，存在元素$a_1,a_2,\dots,a_k\in R$，使得$a_i\equiv 1\mod\mathfrak{p}_i$且$a_i\equiv 0\mod\mathfrak{p}_j$对所有$j\neq i$。

定义映射$f=\sum_{i=1}^k a_i f_i:M\to R^n$，这是一个$R$-线性映射（线性映射的线性组合仍是线性映射）。对于每个$\mathfrak{p}i$，局部化后$f{\mathfrak{p}i}=a_i{\mathfrak{p}i}f{\mathfrak{p}i}$，而$a_i{\mathfrak{p}_i}=1$（因为$a_i\equiv1\mod\mathfrak{p}i$），所以$f{\mathfrak{p}_i}$就是原来的同构，自然是单射。

假设存在非零元$m\in M$使得$f(m)=0$，我们来导出矛盾：

• 对于每个$\mathfrak{p}i\in\operatorname{Min}(R)$，$f{\mathfrak{p}i}\left(\frac{m}{1}\right)=\frac{f(m)}{1}=0$。而$f{\mathfrak{p}i}$是单射（同构的性质），所以$\frac{m}{1}=0$在$M{\mathfrak{p}_i}$中，这意味着存在$s_i\in R\setminus\mathfrak{p}_i$使得$s_i m=0$。
• 这说明$\operatorname{Ann}_R(m)$（$m$的零化子）不包含在任何$\mathfrak{p}_i\in\operatorname{Min}(R)$中，因为$s_i\in\operatorname{Ann}_R(m)$但$s_i\notin\mathfrak{p}_i$。
• 但已知$\operatorname{Ass}(M)\subset\operatorname{Min}(R)$，而对于非零元$m\in M$，$\operatorname{Ann}_R(m)$必然包含某个相伴素理想$\mathfrak{q}\in\operatorname{Ass}(M)$（相伴素的定义就是所有非零元零化子的极小素理想，每个非零元的零化子都包含一个相伴素）。
• 由于$\mathfrak{q}\in\operatorname{Min}(R)$，这就和$\operatorname{Ann}_R(m)$不包含在任何$\mathfrak{p}_i\in\operatorname{Min}(R)$矛盾，因此假设不成立，即$f(m)=0$时必有$m=0$，所以$f$是单射。

综上，我们构造出了满足条件的单射$R$-线性映射$f:M\to R^n$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cusp