如何显式计算给定鞅的极限分布？求相关参考结论

首先，先明确这个鞅的基本性质：由于所有$X_n \in [0,1]$，这是一个有界鞅，根据鞅收敛定理，它确实几乎必然收敛到一个取值在$[0,1]$内的随机变量$X_\infty$。下面分情况推导它的分布，同时给出相关参考结论：

一、显式计算极限分布$X_\infty$ #

我们利用鞅收敛的核心性质：当$n\to\infty$时，$X_{n+1}$与$X_n$的分布趋于一致，因此$X_\infty$满足分布意义下的不动点条件：
$$
X_\infty \stackrel{d}{=} \begin{cases}
1 - r + rX_\infty & \text{以概率 } X_\infty \
rX_\infty & \text{以概率 } 1 - X_\infty
\end{cases}
$$
这里$\stackrel{d}{=}$表示随机变量分布相等。结合这个条件，我们分三种情况讨论：

1. 当$r=0$时 #

递推式简化为：
$$
X_{n+1} = \begin{cases}
1 & \text{以概率 } X_n \
0 & \text{以概率 } 1 - X_n
\end{cases}
$$
此时鞅会快速收敛到0或1：若初始值$X_0=x$（确定值），则$X_\infty$取1的概率为$x$，取0的概率为$1-x$，是标准的两点分布。

2. 当$r=1$时 #

递推式变为$X_{n+1}=X_n$，显然$X_\infty=X_0$，极限分布就是初始分布。

3. 当$0<r<1$时 #

这是最核心的情况，我们可以通过期望分析证明$X_\infty$只能取0或1：

• 首先，鞅的期望守恒：$E[X_n] = E[X_0]$对所有$n$成立，因此$E[X_\infty] = E[X_0]$。
• 其次，计算$E[X_n(1-X_n)]$：代入递推式可得$E[X_{n+1}(1-X_{n+1})] = rE[X_n(1-X_n)]$，因此$E[X_n(1-X_n)] = r^n E[X_0(1-X_0)]$。当$n\to\infty$时，$r^n\to0$，所以$E[X_\infty(1-X_\infty)]=0$，这意味着$X_\infty(1-X_\infty)=0$几乎必然，即$X_\infty$只能是0或1。

结合期望守恒，若初始$X_0=x$（确定值），则$P(X_\infty=1)=x$，$P(X_\infty=0)=1-x$；若$X_0$是随机变量，则$P(X_\infty=1)=E[X_0]$，$P(X_\infty=0)=1-E[X_0]$，依然是两点分布。

二、相关参考结论 #

这个鞅属于随机不动点方程驱动的有界鞅，这类问题的相关结论在随机过程教材中很常见：

• 当随机递推式的不动点解仅能取边界值（这里是0和1）时，极限分布必然是退化的两点分布，由初始鞅的期望决定。
• 类似的结构也出现在分支过程的鞅变换中：比如某些分支过程的灭绝概率问题，本质上也是这类有界鞅的收敛，极限对应“灭绝”（0）或“存活”（1）的状态，概率由初始状态的期望决定。
• 更一般的随机不动点方程解的分布分析，会用到迭代分布收敛和鞅的一致可积性工具，核心思路都是利用收敛后的分布不动点性质，结合矩分析确定可能的取值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者karanslip