线性变换秩的求解验证及关联矩阵实例构建咨询

你好呀，你的解法其实漏掉了一种合法情况，咱们结合维数定理完整梳理下：

根据维数定理，对线性变换$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$，有：
$$\dim(\operatorname{Ker} f) + \dim(\operatorname{Im} f) = 3$$
同时题目要求$\operatorname{Ker} f$是$\operatorname{Im} f$的子空间，因此$\dim(\operatorname{Ker} f) \leqslant \dim(\operatorname{Im} f)$。我们枚举所有可能的非负整数解：

• 当$\dim(\operatorname{Ker} f)=0$时，$\dim(\operatorname{Im} f)=3$，此时变换的秩$r(f)=\dim(\operatorname{Im} f)=3$，零空间${0}$天然包含于任何子空间（这里就是$\mathbb{R}^3$），完全满足条件；
• 当$\dim(\operatorname{Ker} f)=1$时，$\dim(\operatorname{Im} f)=2$，秩$r(f)=2$，$1 \leqslant 2$符合子空间维度要求；
• 当$\dim(\operatorname{Ker} f)\geqslant2$时，$\dim(\operatorname{Im} f)\leqslant1$，此时$\dim(\operatorname{Ker} f) > \dim(\operatorname{Im} f)$，无法满足子空间包含关系，直接排除。

所以这个线性变换的秩可能是3或者2，不是只有2哦。

下面给每种情况的关联矩阵实例（默认取$\mathbb{R}^3$的标准基）：

情况1：秩为3（满秩线性变换） #

满秩变换的核是零空间，必然满足$\operatorname{Ker} f \subseteq \operatorname{Im} f$，比如恒等变换的矩阵：

I = [[1, 0, 0],
     [0, 1, 0],
     [0, 0, 1]]

验证：$\operatorname{Ker} f$仅包含零向量，$\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^3$，显然${0} \subseteq \mathbb{R}^3$。

情况2：秩为2 #

需要构造核为1维子空间，且该子空间包含于2维的像空间。比如下面的矩阵：

A = [[0, 0, 0],
     [1, 0, 0],
     [0, 0, 1]]

验证：

• $\operatorname{Ker} f$：解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，可得$\mathbf{x}=(0, t, 0)^T$（$t\in\mathbb{R}$），即$\operatorname{Ker} f=\operatorname{span}{(0,1,0)^T}$，维度为1；
• $\operatorname{Im} f$：所有$A\mathbf{x}$的结果为$(0, x_1, x_3)^T$（$x_1,x_3\in\mathbb{R}$），即$\operatorname{Im} f=\operatorname{span}{(0,1,0)^T, (0,0,1)^T}$，维度为2；
• 显然$\operatorname{Ker} f$的基向量$(0,1,0)^T$属于$\operatorname{Im} f$，满足$\operatorname{Ker} f \leqslant \operatorname{Im}f$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nah