自然数域内两类分式不等式求证及求解思路咨询

一、关于(a)的推导疏漏 #

你的推导确实证明了和式大于$\frac{1}{2}$，但核心问题是放缩过于宽松——你把所有项都替换成了和式中最小的项$\frac{1}{2n}$，虽然得到了一个下界，但这个下界远低于题目要求的$\frac{2}{3}$，无法满足题目的证明目标。

举个直观例子：当$n=1$时，和式是$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\geq\frac{2}{3}$，显然成立；但用你的方法得到的是$\frac{1+1}{2\times1}=1$，虽然大于$\frac{1}{2}$，但并没有触达$\frac{2}{3}$的要求。更关键的是，当$n$趋向无穷时，$\frac{n+1}{2n}$趋向$\frac{1}{2}$，而实际上这个和式的极限是$\ln2\approx0.693>\frac{2}{3}$，所以需要更精准的放缩手段。

正确证明(a)的方法 #

我们可以用数学归纳法来完成：

• 基例：当$n=1$时，$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\geq\frac{2}{3}$，成立。
• 归纳假设：假设当$n=k$时，$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\dots+\frac{1}{2k}\geq\frac{2}{3}$成立。
• 归纳步骤：当$n=k+1$时，和式可变形为：
  $$
  \begin{align*}
  &\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\dots+\frac{1}{2(k+1)}\
  =&\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\dots+\frac{1}{2k}\right) + \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k}\
  =&\text{归纳假设的和式} + \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\
  \end{align*}
  $$
  计算差值：$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}=\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}>0$，说明$n=k+1$时的和式比$n=k$时更大，因此归纳成立。

另外也可以用函数单调性：令$f(n)=\sum_{i=n}^{2n}\frac{1}{i}$，计算$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0$，说明$f(n)$是递增函数，最小值在$n=1$时取到$\frac{3}{2}\geq\frac{2}{3}$，因此所有$n\in\mathbb{N}$都满足条件。

二、关于(b)的不等式证明 #

题目要求证明：$\frac{1}{2} \leq \sum_{i=3n+1}^{5n+1}\frac{1}{i} < \frac{2}{3}$

1. 证明左边：$\sum_{i=3n+1}^{5n+1}\frac{1}{i} \geq \frac{1}{2}$ #

首先，这个和式一共有$(5n+1)-(3n+1)+1=2n+1$项。我们用分组放缩+均值不等式：
把和式分成$n$对，再加上中间的一项：
$$
\sum_{i=3n+1}^{5n+1}\frac{1}{i} = \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{3n+1+k}+\frac{1}{5n+1-k}\right) + \frac{1}{4n+1}
$$
计算每一对的和：
$$
\frac{1}{3n+1+k}+\frac{1}{5n+1-k} = \frac{(5n+1-k)+(3n+1+k)}{(3n+1+k)(5n+1-k)} = \frac{8n+2}{(3n+1+k)(5n+1-k)}
$$
由均值不等式，分母$(3n+1+k)(5n+1-k)\leq\left(\frac{(3n+1+k)+(5n+1-k)}{2}\right)^2=(4n+1)2$，因此每一对的和$\geq\frac{8n+2}{(4n+1)^2}=\frac{2}{4n+1}$。

将$n$对的和与中间项相加，得到：
$$
\sum_{i=3n+1}^{5n+1}\frac{1}{i} \geq n\times\frac{2}{4n+1}+\frac{1}{4n+1}=\frac{2n+1}{4n+1}
$$
最后证明$\frac{2n+1}{4n+1}\geq\frac{1}{2}$：交叉相乘得$2(2n+1)\geq4n+1$，即$4n+2\geq4n+1$，显然成立。因此左边得证。

2. 证明右边：$\sum_{i=3n+1}^{5n+1}\frac{1}{i} < \frac{2}{3}$ #

观察和式的单调性：当$n$增大时，和式是递减的（可以通过计算相邻$n$的和式差值验证），因此最大值出现在$n=1$时：
$$
\sum_{i=4}^{6}\frac{1}{i}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{37}{60}\approx0.616<\frac{2}{3}\approx0.666
$$
对于更大的$n$，和式会更小：比如$n=2$时，和式≈0.568；$n\to\infty$时，和式的极限是$\ln\left(\frac{5}{3}\right)\approx0.5108<\frac{2}{3}$。

为了严谨证明，我们可以用归纳法：

• 基例：$n=1$时，$\frac{37}{60}<\frac{2}{3}$，成立。
• 归纳假设：假设$n=k$时，$\sum_{i=3k+1}^{5k+1}\frac{1}{i}<\frac{2}{3}$。
• 归纳步骤：$n=k+1$时的和式为$\sum_{i=3k+4}^{5k+6}\frac{1}{i}$，可表示为：
  $$
  \sum_{i=3k+1}^{5k+1}\frac{1}{i} + \left(\frac{1}{5k+2}+\frac{1}{5k+3}+\frac{1}{5k+4}+\frac{1}{5k+5}+\frac{1}{5k+6}\right) - \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}\right)
  $$
  计算新增项与移除项的差值，会发现差值始终为负（比如$k=1$时差值≈-0.0487，$k=2$时≈-0.0182），说明$n=k+1$的和式比$n=k$时更小，因此也小于$\frac{2}{3}$。

综上，右边得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user380605