关于约化交叉积$C(X) \rtimes_{\alpha,r}\Gamma$嵌入冯·诺依曼交叉积的证明问询

咱们先把已知条件明确下来：$\Gamma$是作用在紧Hausdorff空间$X$上的离散群，$X$上存在满支撑的拟不变测度$\nu$——满支撑的核心性质是任何非空开集的测度都不为0，这个点后面会用到。

第一步：证明乘法算子映射$T:C(X)\to \mathbb{BL}^2(X,\nu)$是等距映射 #

题目里定义的$T(f)=M_f$，就是把连续函数$f$对应到$L^2(X,\nu)$上的乘法算子：$M_f(g)=fg$，对任意$g\in L^2(X,\nu)$。要证这是等距，就得证明$|T(f)|=|M_f|=|f|{\infty}$（$|f|{\infty}$是$f$的上确界范数，$|M_f|$是算子范数）。

分两步验证：

• 先证$T$是压缩映射：对任意$g\in L^{2(X,\nu)$，计算算子作用后的$L}2$范数：
  $$|M_f g|2^2 = \int_X |f(x)g(x)|^2 d\nu(x) \leq |f|{\infty}^2 \int_X |g(x)|^2 d\nu(x) = |f|_{\infty}^2 |g|2^2$$
  两边开根号可得$|M_f| \leq |f|{\infty}$，说明$T$不会放大函数的范数。

• 再证等距（范数不缩小）：因为$\nu$有满支撑，对任意小的$\epsilon>0$，集合$U={x\in X: |f(x)|>|f|{\infty}-\epsilon}$是非空开集，且$\nu(U)>0$（满支撑的关键作用）。取$g$为$U$的特征函数除以$\sqrt{\nu(U)}$，此时$|g|2=1$，计算得：
  $$|M_f g|2^2 = \frac{1}{\nu(U)} \int_U |f(x)|^2 d\nu(x) \geq \frac{1}{\nu(U)} \int_U (|f|{\infty}-\epsilon)^2 d\nu(x) = (|f|{\infty}-\epsilon)^2$$
  令$\epsilon\to0$，就能得到$|M_f| \geq |f|{\infty}$。

结合两步结论，$|M_f|=|f|_{\infty}$，所以$T$是等距映射。

第二步：构造交叉积的嵌入映射 #

接下来把$T$扩展到整个约化交叉积上，证明它能嵌入到冯·诺依曼交叉积里。先回顾两个交叉积的核心定义：

• 约化交叉积$C(X)\rtimes_{\alpha,r}\Gamma$：由形如$\sum_{g\in\Gamma} f_g u_g$的有限和闭包生成，其中$f_g\in C(X)$，$u_g$是对应群作用$\alpha_g(f)(x)=f(g^{{-1}x)$的左平移算子，范数为该算子在$L}2(X,\nu)$上的算子范数。
• 冯·诺依曼交叉积$L^{{\infty}(X)\ltimes\Gamma$：是$L}{\infty}(X)$和$\Gamma$生成的冯·诺依曼代数，作用在$L^2(X\times\Gamma,\nu\times\lambda)$上（$\lambda$是$\Gamma$的计数测度），生成元为乘法算子$M_{\phi}$（$\phi\in L^{\infty}(X)$）和移位算子$V_g$（$V_g h(x,h')=h(g^{-1}x, g^{-1}h')$）。

定义扩展映射$\tilde{T}: C(X)\rtimes_{\alpha,r}\Gamma \to L^{\infty}(X)\ltimes\Gamma$：
对有限和$a=\sum_{g\in\Gamma} f_g u_g$，令
$$\tilde{T}(a) = \sum_{g\in\Gamma} M_{f_g} V_g$$

先验证映射的相容性：对于$f\in C(X)$，交叉积中有$u_g f u_g^* = \alpha_g(f)$，而冯·诺依曼交叉积里$V_g M_f V_g^* = M_{\alpha_g(f)}$，完全匹配群作用的共轭关系，说明这个映射是*同态的合理雏形。

再证明$\tilde{T}$是等距（这是嵌入的关键）：
对于有限和$a=\sum_{g} f_g u_g$，它的约化范数$|a|r$等于$|\sum{g} M_{f_g} U_g|$（$U_g$是$L^2(X,\nu)$上的左平移算子：$U_g h(x)=h(g^{-1}x)$）。

观察$\tilde{T}(a)$在$L^{2(X\times\Gamma,\nu\times\lambda)$上的算子范数：把空间限制到子空间$L}2(X,\nu)\otimes\delta_e$（$\delta_e$是$\Gamma$单位元的特征函数），这个子空间与$L^2(X,\nu)$等距同构，且$\tilde{T}(a)$在该子空间上的作用恰好是$\sum_{g} M_{f_g} U_g$，因此$|\tilde{T}(a)| \geq |a|_r$。

另一方面，约化范数是所有交叉积范数中最小的，因此$|\sum_{g} M_{f_g} V_g| \leq |a|_r$。结合两边可得$|\tilde{T}(a)| = |a|_r$。

这说明$\tilde{T}$是等距*同态，我们可以把它延拓到整个约化交叉积的闭包上，自然得到$C(X)\rtimes_{\alpha,r}\Gamma$到$L^{\infty}(X)\ltimes\Gamma$的嵌入。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tattwamasi amrutam