已知F为ℝ²上保守向量场，求证gF保守当且仅当∇g与F处处平行

先把已知前提理清楚：$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$是$\mathbb{R}^2$上的非零保守光滑向量场，所以自带两个关键性质：

• 旋度为零：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$（这是保守场的核心等价条件之一）
• 存在光滑势函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$，使得$F = \nabla f$（因为$\mathbb{R}^2$是单连通区域，保守场必然对应一个势函数）

接下来分必要性和充分性两部分完成证明：

必要性：若$gF$是保守向量场，则$\nabla g$与$F$处处平行 #

假设$gF=(gP, gQ)$是保守场，那它的旋度也必须为零，也就是：
$$\frac{\partial(gQ)}{\partial x} = \frac{\partial(gP)}{\partial y}$$

用乘积法则展开等式两边：

• 左边：$\frac{\partial g}{\partial x}Q + g\frac{\partial Q}{\partial x}$
• 右边：$\frac{\partial g}{\partial y}P + g\frac{\partial P}{\partial y}$

因为已知$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，所以等式两边的$g$乘以后面的项可以直接抵消，整理后得到：
$$\frac{\partial g}{\partial x}Q - \frac{\partial g}{\partial y}P = 0$$

这个式子正好对应二维向量$\nabla g = \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)$和$F=(P,Q)$的叉积为零（二维叉积的定义就是$\nabla g \times F = \frac{\partial g}{\partial x}Q - \frac{\partial g}{\partial y}P$）。叉积为零意味着两个向量处处平行，再加上已知$F\neq(0,0)$，所以$\nabla g$与$F$必然处处平行，必要性得证。

充分性：若$\nabla g$与$F$处处平行，则$gF$是保守向量场 #

假设$\nabla g$与$F$处处平行，由于$F\neq(0,0)$，所以存在一个光滑函数$\lambda:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$，使得：
$$\nabla g = \lambda F$$

写成分量形式就是：
$$\frac{\partial g}{\partial x} = \lambda P, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = \lambda Q$$

现在计算$gF$的旋度，验证它是否为零：
$$
\begin{align*}
\frac{\partial(gQ)}{\partial x} - \frac{\partial(gP)}{\partial y} &= \left(\frac{\partial g}{\partial x}Q + g\frac{\partial Q}{\partial x}\right) - \left(\frac{\partial g}{\partial y}P + g\frac{\partial P}{\partial y}\right) \
&= (\lambda P \cdot Q + g\frac{\partial Q}{\partial x}) - (\lambda Q \cdot P + g\frac{\partial P}{\partial y})
\end{align*}
$$

可以看到$\lambda PQ - \lambda QP = 0$，再结合已知的$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，剩下的$g\frac{\partial Q}{\partial x} - g\frac{\partial P}{\partial y}$也等于零。所以整个旋度为零。

而$\mathbb{R}^2$是单连通区域，光滑向量场旋度为零等价于保守场，因此$gF$是保守向量场，充分性得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LisaS