模群子群咨询：由$z \mapsto z+2$和$z \mapsto \frac{-1}{z}$生成的子群

嘿，这个子群其实是模群$\Gamma(1) = SL(2,\mathbb{Z})$的核心子群之一，你没在常规模形式教材里直接找到它，大概率是因为它常以矩阵等价形式或者共轭同余子群的身份出现，而非你看到的生成元表述：

• 矩阵层面的直接描述：这个群对应$SL(2,\mathbb{Z})$中所有满足$b \equiv 0 \pmod{2}$的矩阵$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$（当然要满足$ad - bc = 1$）。换句话说，群里每个分式变换$\frac{az + b}{cz + d}$的分子常数项$b$都是偶数。
• 和$\Gamma_0(2)$的共轭关系：它和大家更熟悉的同余子群$\Gamma_0(2)$是共轭等价的——$\Gamma_0(2)$是$SL(2,\mathbb{Z})$中满足$c \equiv 0 \pmod{2}$的矩阵群。只要通过分式变换$z \mapsto 2z$做共轭，就能把你提到的这个群转化为$\Gamma_0(2)$，这也是很多教材重点讲$\Gamma_0(2)$却很少直接提这个群的原因。
• 生成元的另一种表述：有时候这个群也会用$z \mapsto \frac{z}{2z + 1}$（也就是$S T^2 S$，其中$S(z)=-1/z$，$T(z)=z+1$）和$z \mapsto z+2$作为生成元，这种形式在格自同构的语境下更常见——比如对应$\mathbb{Z}^2$上的自同构$(x,y) \mapsto (x, 2x + y)$和$(x,y) \mapsto (-y, x)$。

在Conway与Sloane的《Sphere packings, lattices and groups》里，这个群大概率是和偶数格或者二次型的自同构绑定出现的，因为它的作用能保持这类格的结构。如果想找它的模形式相关内容，直接去研究$\Gamma_0(2)$上的模形式就好，通过共轭变换就能无缝对应到这个群上的模形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adam Keogh