求集合在f(z)=e^z与g(z)=log z下的原像、像及疑问解答

算力阿峰

2026-5-19

我来帮你一步步理清这几个复变函数映射的问题，把每个集合在$f(z)=e^z$和$g(z)=\log(z)$（默认取主值分支，多值情况会额外说明）下的像和原像拆解清楚：

集合映射解析

a) $A={z\in \mathbb{C} \mid \mathrm{Im} z=0}$（实轴，不含原点，因为$\log(z)$在原点无定义）

像：集合A里的点都是实轴上的点$z=x$（$x\in\mathbb{R}$），代入$f(z)$得$f(z)=e^{x$。当$x$取遍全体实数时，$e}x$的取值范围是所有正实数（$x\to+\infty$时$e^{x\to+\infty$，$x\to-\infty$时$e}x\to0^+$），所以像为${w\in\mathbb{C}\mid w>0, \mathrm{Im}w=0}$，也就是全体正实数，这部分你的判断是对的。
原像：原像是找所有$z$使得$f(z)\in A$（即$f(z)$是实数）。$f(z)=e^{x+iy}=ex(\cos y + i\sin y)$，要让这个结果是实数，必须满足$\sin y=0$，即$y=2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），而实部$x$可以取任意实数。所以原像是${z=x+i2k\pi\mid x\in\mathbb{R}, k\in\mathbb{Z}}$——也就是所有平行于实轴、虚部为$2\pi$整数倍的直线，你之前漏了实部可以是任意实数，这是需要修正的点。

像：集合A里的点分正实轴和负实轴两部分：
- 当$z=x>0$时，$\log(z)=\ln x + i0$，取值为全体实数；
- 当$z=x<0$时，$\log(z)=\ln|x| + i\pi$，取值为${t+i\pi\mid t\in\mathbb{R}}$这条直线。
  所以像为$\mathbb{R}\cup{t+i\pi\mid t\in\mathbb{R}}$，即实轴加上一条平行于实轴且虚部为$\pi$的直线。
原像：原像是找所有$z$使得$\log(z)\in A$（即$\log(z)$是实数）。$\log(z)=\ln|z|+i\mathrm{Arg}(z)$，要让虚部为0，需$\mathrm{Arg}(z)=0$（主值分支下），也就是$z$是正实数。所以原像为${z\in\mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0, \mathrm{Im}z=0}$。

像：集合B里的点是$z=x+xi$（$x\in\mathbb{R}$），代入得$f(z)=e^{x+xi}=ex(\cos x + i\sin x)$。极坐标下，这个点的模长是$e^{x$，辐角是$x$，所以模长和辐角满足$r=e}\theta$（$r=|w|, \theta=\mathrm{Arg}(w)$）。因此像为${w\in\mathbb{C}\setminus{0}\mid |w|=e^{\mathrm{Arg}(w)}}$，也就是所有极坐标满足模长等于辐角指数的非零复数。
原像：原像是找所有$z=x+iy$使得$f(z)\in B$（即$\mathrm{Re}f(z)=\mathrm{Im}f(z)$）。$f(z)=e^x\cos y + ie^x\sin y$，因为$e^x\neq0$，所以等价于$\cos y=\sin y$，即$y=\frac{\pi}{4}+k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），$x$可取任意实数。所以原像是${z=x+i(\frac{\pi}{4}+k\pi)\mid x\in\mathbb{R}, k\in\mathbb{Z}}$，即一族平行于实轴的直线。

像：集合B里的点是$z=x(1+i)$（$x\in\mathbb{R}, x\neq0$）：
- 当$x>0$时，$z=x\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$，$\log(z)=\ln(x\sqrt{2})+i\frac{\pi}{4}$，即${t+i\frac{\pi}{4}\mid t\in\mathbb{R}}$；
- 当$x<0$时，$z=|x|\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$（主值辐角），$\log(z)=\ln(|x|\sqrt{2})-i\frac{3\pi}{4}$，即${t-i\frac{3\pi}{4}\mid t\in\mathbb{R}}$。
  所以像为两条平行于实轴的直线的并集。
原像：原像是找所有$z$使得$\log(z)\in B$（即$\mathrm{Re}\log(z)=\mathrm{Im}\log(z)$）。主值下$\log(z)=\ln|z|+i\mathrm{Arg}(z)$，等价于$\ln|z|=\mathrm{Arg}(z)$，$\mathrm{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]$。所以原像是${z=e^\theta(\cos\theta+i\sin\theta)\mid \theta\in(-\pi,\pi]}$，这是一条极坐标满足$r=e^\theta$的曲线。

像：集合C里的点是$z=x+iy$（$x>0, 0<y<\pi$），代入得$f(z)=e^x(\cos y + i\sin y)$，模长$e^x>1$（因为$x>0$），辐角$y\in(0,\pi)$。所以像为${w\in\mathbb{C}\setminus{0}\mid |w|>1, 0<\mathrm{Arg}(w)<\pi}$，也就是上半平面中模长大于1的区域。
原像：原像是找所有$z=x+iy$使得$f(z)\in C$（即$\mathrm{Re}f(z)>0, \mathrm{Im}f(z)>0$）。$e^x>0$，所以等价于$\cos y>0$且$\sin y>0$，即$y\in(2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi)$（$k\in\mathbb{Z}$），$x$可取任意实数。所以原像是${z=x+iy\mid x\in\mathbb{R}, 2k\pi<y<\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}}$，即每个周期内的“第一象限”区域。

像：集合C里的点$z$的模长$|z|>0$，主值辐角$\mathrm{Arg}(z)\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\log(z)=\ln|z|+i\mathrm{Arg}(z)$，实部$\ln|z|$可取全体实数，虚部$\mathrm{Arg}(z)\in(0,\frac{\pi}{2})$。因此像为${u+iv\mid u\in\mathbb{R}, 0<v<\frac{\pi}{2}}$，即虚部在0到$\frac{\pi}{2}$之间的水平带形区域。
原像：原像是找所有$z$使得$\log(z)\in C$（即$\mathrm{Re}\log(z)>0, \mathrm{Im}\log(z)>0$）。主值下等价于$\ln|z|>0$（即$|z|>1$）且$\mathrm{Arg}(z)\in(0,\pi)$，所以原像是${z\in\mathbb{C}\mid |z|>1, 0<\mathrm{Arg}(z)<\pi}$，也就是上半平面中模长大于1的区域。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nixie777