含幺交换环上特定单模条件下的模直和同构证明问询

我正在尝试解决下面这个模论问题：

设$M$为含幺交换环$A$上的模，$M'\subseteq M$是单子模，且$N=M/M'$为单模。假设$N$与$M'$不同构，证明$M\cong M'\oplus N$。提示：取$m_0\in M$使得$M'+m_0$生成$N$，考虑$\langle m_0\rangle$。

目前我已经有了一点进展：
因为$N=\langle \overline{m_0}\rangle$，所以对任意$m\in M$，都有
$$\overline{m}=c_m\overline{m_0}$$
其中$c_m\in A$。这一步之后我有点卡住了，不知道怎么利用$M'$和$N$不同构这个关键条件来构造直和分解，也不太清楚怎么处理$\langle m_0\rangle$这个子模和$M'$的交集、和集关系。有没有大佬能给我点提示或者继续往下推导的思路？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者learning_math