驳斥∑(k!)²(Hₖ)²及同类调和数序列猜想并附实例

背景与猜想提出 #

我从维基百科某传记首段了解到爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）提出的问题后，尝试借助数论函数构造该问题的不同变体。通过Wolfram Alpha在线计算器计算若干项后，我提出了两个关于无平方因子整数的猜想：

• 猜想一：对任意整数$n≥1$，求和式$$\sum_{k=1}^n (k!)^2(H_k)2$$的结果都是无平方因子整数（即所有素因子的指数均为1）。
• 猜想二：对于形如$\sum_{n=1}^N (a(n))^2H_n2$的整数序列（其中$H_n$为第n个调和数，$a(n)$为使得每一项$(a(n))^2H_n2$均为整数的数论函数），该序列的所有项都是无平方因子整数。

猜想一的驳斥与反例 #

我们直接计算$n=8$时的求和结果：
首先，调和数$H_8 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} = \frac{761}{280}$，$(8!)^2 = 40320^2 = 1625702400$，因此$(8!)^2(H_8)2 = (40320 \times \frac{761}{280})^2 = 109584^2 = 11908653056$。

将前7项的和（173962027）与该项相加，得到总和：
$$173962027 + 11908653056 = 12082615083$$

对这个数分解质因数可得：$12082615083 = 3^2 \times 1342512787$，其中素因子3的指数为2，显然存在平方因子。这直接证明猜想一不成立。

猜想二的驳斥与反例 #

我们选取$a(n)$为前n个正整数的最小公倍数$L(n)$（即$L(n) = \text{lcm}(1,2,...,n)$），此时$L(n)H_n$必为整数，因此$(L(n))^2H_n2$是整数，满足序列为整数序列的要求。

计算$N=4$时的求和结果：

• $n=1$：$(L(1))^2H_12 = 1^2 \times 1^2 = 1$
• $n=2$：$(L(2))^2H_22 = 2^2 \times (\frac{3}{2})^2 = 9$
• $n=3$：$(L(3))^2H_32 = 6^2 \times (\frac{11}{6})^2 = 121$
• $n=4$：$(L(4))^2H_42 = 12^2 \times (\frac{25}{12})^2 = 625$

求和得：$1 + 9 + 121 + 625 = 756$

分解质因数：$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$，其中素因子2的指数为2，素因子3的指数为3，存在明显的平方因子。这说明猜想二不成立，并非所有此类整数序列的项都是无平方因子整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301