关于递增函数凹性及复合函数g(x)=log(1+f(x))凹性的判定问询

让我一步步来解答这两个问题：

首先得明确两个核心概念的定义（这里我们讨论二阶可导的函数，非可导情况逻辑类似）：

• 单调递增函数：一阶导数$f'(x) \geq 0$（严格递增则$f'(x) > 0$）；
• 凹函数：二阶导数$f''(x) \leq 0$（严格凹则$f''(x) < 0$，注：不同教材对凹/凸的定义可能有反转，这里采用“凹函数是向下凸的曲线”这个通用定义）。

这两个性质没有必然的推导关系，单调递增的函数可能是凹函数，也可能不是：

• 例子1（是凹函数）：$f(x) = x$，一阶导数$f'(x)=1>0$（严格单调递增），二阶导数$f''(x)=0\leq0$，完全符合凹函数的定义；
• 例子2（不是凹函数）：$f(x) = x^2$（仅考虑$x>0$区间），一阶导数$f'(x)=2x>0$（单调递增），但二阶导数$f''(x)=2>0$，这是凸函数而非凹函数。

总结：单调递增函数不一定是凹函数，需要结合函数的二阶导数或者凹函数的原始定义（对任意$x_1,x_2$和$\lambda\in[0,1]$，满足$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$）来具体判断。

已知条件：$x>0$时$f(x)>0$，且$f'(x)>0$、$f''(x)>0$（同时$f(x)$是凸函数，这和$f''(x)>0$在二阶可导的前提下是完全一致的）。

要判断$g(x)$的凹凸性，我们可以通过求二阶导数来分析（因为对数函数和$f(x)$都可导，所以$g(x)$二阶可导）：

1. 先求一阶导数：
   $$g'(x) = \frac{f'(x)}{1+f(x)}$$

2. 再用商的求导法则求二阶导数：
   $$g''(x) = \frac{f''(x)(1+f(x)) - [f'(x)]^2}{(1+f(x))2}$$

分母$(1+f(x))^2$显然是正数（因为$f(x)>0$），所以$g''(x)$的符号完全由分子$N = f''(x)(1+f(x)) - [f'(x)]^2$决定：

• 若$N \leq 0$，则$g''(x) \leq 0$，$g(x)$是凹函数；
• 若$N > 0$，则$g''(x) > 0$，$g(x)$是凸函数。

我们用具体例子验证：

• 例子1（$g(x)$是凸函数，非凹函数）：取$f(x)=e^{x$，满足所有已知条件（$f'(x)=e}x>0$，$f''(x)=e^x>0$，$f(x)>0$）。计算分子：
  $$N = e^x(1+ex) - (e^x)2 = e^x + e^{2x} - e^{2x} = e^x > 0$$
  此时$g''(x)>0$，$g(x)=\log(1+e^x)$是凸函数。

• 例子2（$g(x)$在部分区间是凹函数）：取$f(x)=x^{3$（$x>0$），满足$f'(x)=3x}2>0$，$f''(x)=6x>0$，$f(x)>0$。计算分子：
  $$N = 6x(1+x^3) - (3x²⁾2 = 6x + 6x^4 - 9x^4 = 6x - 3x^4 = 3x(2 - x^3)$$
  当$x > \sqrt[3]{2}$时，$N < 0$，$g''(x)<0$，$g(x)$是凹函数；当$0 < x < \sqrt[3]{2}$时，$N > 0$，$g(x)$是凸函数。

总结：$g(x)=\log(1+f(x))$不一定是凹函数，它的凹凸性完全取决于$f(x)$的具体形式，核心判断依据是分子$f''(x)(1+f(x)) - [f'(x)]^2$的符号。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Frank Moses