无处单调/可微函数证明受阻：求证T(x)无处单调且无处可微

这是一个经典的处处不可微且无处单调的连续函数构造，和van der Waerden函数属于同一类，咱们分两部分来梳理证明逻辑：

一、证明$T(x)$无处可微 #

先明确几个关键基础性质：

• 每个$f_n(x) = \frac{f(4^n x)}{4^{n}$是周期为$4}{-n}$的周期函数，且Lipschitz常数为1（原函数$f(x)$的Lipschitz常数是1，缩放后保持不变）。
• 由于$|f_n(x)| \leq \frac{1}{2 \cdot 4^{n}$，根据Weierstrass判别法，级数$\sum_{n=0}}\infty f_n(x)$一致收敛，因此$T(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数。

接下来用反证法推进：假设存在某个点$x_0 \in \mathbb{R}$，使得$T'(x_0)$存在，记为有限值$L$。我们构造序列$h_k = \pm 4^{-k}$（符号可灵活选择），计算差商：
$$
\frac{T(x_0 + h_k) - T(x_0)}{h_k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n(x_0 + h_k) - f_n(x_0)}{h_k}
$$

拆分级数项分析：

• 当$n > k$时，$4^n h_k = \pm 4^{{n-k}$是整数，而$f$以1为周期，因此$f(4}n(x_0 + h_k)) = f(4^n x_0 + \text{整数}) = f(4^n x_0)$，对应项为0。
• 当$n \leq k$时，$4^n h_k = \pm 4^{n-k}$，而$f(x)$在$[-1/2, 1/2]$上是绝对值函数，我们可以选择$h_k$的符号（让$4^n(x_0 + h_k)$落在$f(x)$的递增或递减区间），使得$\frac{f_n(x_0 + h_k) - f_n(x_0)}{h_k} = \pm 1$，并且让所有$n \leq k$的项符号一致。

这样前$k+1$项的和就是$\pm (k+1)$，当$k \to \infty$时，差商的绝对值趋向$+\infty$，这和导数$L$为有限值矛盾。因此$T(x)$在任意点都不可微。

二、证明$T(x)$无处单调 #

同样用反证法：假设存在区间$[a, b]$，使得$T(x)$在$[a, b]$上单调递增（递减情况同理可证）。

单调函数在任意区间上的总变差是有限的（等于端点函数值之差$T(b)-T(a)$），但我们可以证明$T(x)$在$[a, b]$上的总变差是无穷大，从而导出矛盾：

1. 对于每个$f_n(x)$，它在一个周期（长度$4^{{-n}$）内的总变差是$\frac{1}{4}n}$（原函数$f(x)$在$[-1/2, 1/2]$上的变差是1，缩放后变为$\frac{1}{4^n}$）。
2. 在区间$[a, b]$内，至少包含$\lfloor (b-a) \cdot 4^n \rfloor$个完整的$f_n$周期，因此$f_n(x)$在$[a, b]$上的总变差至少为$\lfloor (b-a) \cdot 4^n \rfloor \cdot \frac{1}{4^n} \geq (b-a) - \frac{1}{4^n}$。

由于级数$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$一致收敛，$T(x)$的总变差等于各$f_n(x)$总变差之和：
$$
\text{Var}(T, [a,b]) = \sum_{n=0}^\infty \text{Var}(f_n, [a,b]) \geq \sum_{n=0}^\infty \left( (b-a) - \frac{1}{4^n} \right)
$$

这个级数的每一项都趋近于$(b-a) > 0$，总和是无穷大，和单调函数总变差有限的性质矛盾。

更直观的验证方式：对于任意区间$[a,b]$，取足够大的$n$使得$4^{-n} < \frac{b-a}{2}$，在$[a,b]$内找两个点$x_1 < x_2$，满足$x_2 - x_1 = 4^{-n}$，并且$f_n(x_2) - f_n(x_1) = -\frac{1}{4^{n}$（利用$f(x)$的绝对值特性，总能找到这样的点）。此时前$n$项的差的绝对值之和$\sum_{m=0}}{n-1} |f_m(x_2)-f_m(x_1)| \leq n \cdot 4^{-n}$，当$n$足够大时，$n \cdot 4^{-n} < \frac{1}{4^n}$，因此：
$$
T(x_2) - T(x_1) = \left( f_n(x_2)-f_n(x_1) \right) + \sum_{m=0}^{n-1} (f_m(x_2)-f_m(x_1)) < 0
$$
这说明区间内存在递减的点，同理也能找到递增的点，因此$T(x)$在$[a,b]$上不可能单调。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrea Tettamanti